[HDOJ 4936] Rainbow Island [动态规划+高斯消元]

最新推荐文章于 2019-02-11 13:41:14 发布

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本文探讨了一种算法，用于计算将多个岛屿通过无向边连接成为一个联通块所需的平均传送次数。通过分层高斯消元的方法，解决了在给定概率连边规则下，从任意一个岛出发达到所有岛的期望次数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一共有20个岛，你现在在1号岛，每次到一个岛，都有pi的概率在两个岛之间连上一条无向边(可能连重边)，接着你会等概率的传送到集合Si中的一个岛上。

问把所有的岛连成一个联通块需要传送的次数的期望。

dp[s][i]为在s的状态下，现在在第i个岛，还需要的期望。其中s描述了现有每个联通块的规模。显然，dp[20][i]=0，然后我们要求的是dp[1,1,...,1][i]。

注意到dp[s][i]只会转移到联通块个数更少的状态，或者和自己联通块规模相同的状态。于是可以分层做高斯消元，把联通块个数更少的状态作为常数带入下一层的方程。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

const double eps=1e-20;
int n;

struct Matrix {
	double a[20][21];
	double ans[20];
	Matrix() {
		for (int i=0;i<n;i++)
			for (int j=0;j<=n;j++)
				a[i][j]=0;
		for (int i=0;i<n;i++) {
			a[i][i]=-1;
			a[i][n]=1;
			ans[i]=0;
		}
	}
	void solve() {
		int i,j,k;
		for (j=0;j<n;j++) {
			int maxi=j;
			for (i=j+1;i<n;i++) if (fabs(a[i][j])>fabs(a[maxi][j])) maxi=i;
			for (k=j;k<=n;k++) swap(a[j][k],a[maxi][k]);
			for (i=j+1;i<n;i++) {
				if (fabs(a[i][j])>eps) {
					double tmp=a[i][j]/a[j][j];
					for (k=j+1;k<=n;k++)
						a[i][k]-=tmp*a[j][k];
				}
			}
		}
		for (i=n-1;i>=0;i--) {
			double tmp=-a[i][n];
			for (j=i+1;j<n;j++) tmp-=ans[j]*a[i][j];
			ans[i]=tmp/a[i][i];
		}
	}
};

map<vector<int>,Matrix> dp;
vector<int> blueTo[20];
double rainbowP[20];

void cal(const vector<int> &s) {
	int m=s.size(),i,j,k,l;
	Matrix &dps=dp[s];
	for (i=0;i<m;i++) {
		double ranP=(double)(s[i]*(s[i]-1))/(n*(n-1));
		for (k=0;k<n;k++) {
			double p=ranP*rainbowP[k]*(1/(double)blueTo[k].size());
			for (l=0;l<blueTo[k].size();l++) {
				dps.a[k][blueTo[k][l]]+=p;
			}
		}
		for (j=i+1;j<m;j++) {
			vector<int> tmp(s);
			ranP=(double)(s[i]*s[j])/(n*(n-1)/2);
			tmp[i]+=tmp[j];
			for (k=j+1;k<tmp.size();k++) tmp[k-1]=tmp[k];
			tmp.resize(m-1);
			sort(tmp.begin(),tmp.end());
			if (dp.find(tmp)==dp.end()) cal(tmp);
			Matrix &dpt=dp[tmp];
			for (k=0;k<n;k++) {
				double p=ranP*rainbowP[k]*(1/(double)blueTo[k].size());
				for (l=0;l<blueTo[k].size();l++) {
					dps.a[k][n]+=p*dpt.ans[blueTo[k][l]];
				}
			}
		}
	}
	for (k=0;k<n;k++) {
		double p=(1-rainbowP[k])*(1/(double)blueTo[k].size());
		for (l=0;l<blueTo[k].size();l++) {
			dps.a[k][blueTo[k][l]]+=p;
		}
	}
	//printf("Calculate:");
	//for (i=0;i<m;i++) printf(" %d",s[i]);
	//printf("\n");
	//printf(" Matrix:\n");
	//for (k=0;k<n;k++) {
		//for (l=0;l<=n;l++) 
			//printf(" %lf",dps.a[k][l]);
		//printf("\n");
	//}
	dps.solve();
	//printf(" Answer:");
	//for (i=0;i<n;i++) printf(" %lf",dps.ans[i]);
	//printf("\n");
	//printf("\n");
}

int main() {
	int t,tt,i,m,j;
	scanf("%d",&t);
	for (tt=1;tt<=t;tt++) {
		scanf("%d",&n);
		dp.clear();
		for (i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&rainbowP[i]);
		for (i=0;i<n;i++) {
			blueTo[i].clear();
			scanf("%d",&m);
			for (j=0;j<m;j++) {
				int x;
				scanf("%d",&x);
				blueTo[i].push_back(x-1);
			}
		}
		dp[vector<int>(1,n)]=Matrix();
		if (n!=1) cal(vector<int>(n,1));
		printf("Case #%d: %.6lf\n",tt,dp[vector<int>(n,1)].ans[0]);
	}
	return 0;
}