树——unique-binary-search-trees

题目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

  1           3     3      2      1
   \         /     /        / \      \
    3     2     1        1   3      2
   /     /         \                      \
  2    1            2                     3

方法：    
如果集合为空，只有一种BST，即空树，UniqueTrees[0] =1    

如果集合仅有一个元素，只有一种BST，即为单个节点UniqueTrees[1] = 1    

 UniqueTrees[2] = UniqueTrees[0] * UniqueTrees[1]   (1为根的情况)+ UniqueTrees[1] * UniqueTrees[0]  (2为根的情况。
 
再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
UniqueTrees[3] = UniqueTrees[0]*UniqueTrees[2]  (1为根的情况)
+ UniqueTrees[1]*UniqueTrees[1]  (2为根的情况)
+ UniqueTrees[2]*UniqueTrees[0]  (3为根的情况)
所以，由此观察，可以得出UniqueTrees的递推公式为UniqueTrees[i] = ∑ UniqueTrees[0...k] * [i-1-k]     k取值范围 0<= k <=(i-1)  
”’    

直接用递归求解会超时，所以用动态规划求解。

代码如下：
public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if(n == 0)
            return 1;
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<n+1;i++)
            {
            for(int j=0;j<i;j++)
                dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1];
        }
        return dp[n];
    }
}