Unique Binary Search Trees

本文探讨了如何计算节点数为n的唯一二叉查找树的数量,并提供了详细的递推公式及实现代码。采用动态规划的方法,通过计算不同根节点情况下的二叉树数量,最终得出总数量。

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

题目解析:找到节点数为n,节点的值为1….n,的所有二叉查找树的数目。
思路:用res[i]表示节点数为i的二叉查找树的数目,下面分别计算根节点为1-n的情况,假设根节点为j,那么其二叉搜索树的数目为res[j-1]* res[n-1-j],即其左子树(所有值比j小)的数目乘以其右子树(值比j大)的数目,而其左子树又是一个二叉搜索树,且节点数为j-1,也就是res[j-1],右子树同样也是二叉搜索树,数目为n-j,即res[n-1-j],而根节点值的取值范围为1…n,那么就有如下的递推关系:
res[0] = 1
res[i] = sum(res[j]*res[i-j])j=1…i
其实这也是卡特兰数的定义。
代码如下:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> res(n+1, 0);
        res[0] = res[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= i; ++j)
                res[i] += res[j-1] * res[i-j];
        return res[n];
    }
};
### 如何使用二叉搜索树(BST)实现 A+B 操作 在 C 编程语言中,可以通过构建两个二叉搜索树(BST),分别表示集合 A 和 B 的元素,然后通过遍历其中一个 BST 并将其节点插入到另一个 BST 中来完成 A+B 操作。以下是详细的实现方法: #### 据结构定义 首先需要定义一个简单的二叉搜索树节点的据结构。 ```c typedef struct TreeNode { int value; struct TreeNode* left; struct TreeNode* right; } TreeNode; ``` #### 插入函 为了向 BST 添加新元素,可以编写如下 `insert` 函。 ```c TreeNode* createNode(int value) { TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode)); newNode->value = value; newNode->left = NULL; newNode->right = NULL; return newNode; } void insert(TreeNode** root, int value) { if (*root == NULL) { *root = createNode(value); } else { if (value < (*root)->value) { insert(&((*root)->left), value); // Insert into the left subtree. } else if (value > (*root)->value) { insert(&((*root)->right), value); // Insert into the right subtree. } // If value == (*root)->value, do nothing since duplicates are not allowed in a set. } } ``` #### 合并操作 要执行 A+B 操作,即合并两棵 BST,可以从一棵树中提取所有元素并将它们逐个插入另一棵树中。 ```c // In-order traversal to extract elements from one tree and add them to another. void mergeTrees(TreeNode* sourceRoot, TreeNode** targetRoot) { if (sourceRoot != NULL) { mergeTrees(sourceRoot->left, targetRoot); // Traverse left subtree first. insert(targetRoot, sourceRoot->value); // Add current node's value to target tree. mergeTrees(sourceRoot->right, targetRoot); // Then traverse right subtree. } } ``` #### 主程序逻辑 假设我们已经初始化了两棵 BST 表示集合 A 和 B,则可以通过调用上述函完成 A+B 操作。 ```c int main() { TreeNode* treeA = NULL; TreeNode* treeB = NULL; // Example: Adding values to Tree A. int arrayA[] = {5, 3, 7, 2, 4}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayA)/sizeof(arrayA[0]); ++i) { insert(&treeA, arrayA[i]); } // Example: Adding values to Tree B. int arrayB[] = {6, 8, 1}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayB)/sizeof(arrayB[0]); ++i) { insert(&treeB, arrayB[i]); } // Perform A + B by merging all nodes of treeB into treeA. mergeTrees(treeB, &treeA); // Now treeA contains all unique elements from both sets. return 0; } ``` 此代码片段展示了如何利用二叉搜索树的性质高效地进行集合并集运算[^1]。
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