数的划分

这道题我们可以用dp:

f[i][x] 表示 i 分成 x 个非空的数的方案数。

显然 i<x 时 f[i][x]=0 , i=x 时 f[i][x]=1;

其余的状态，我们分情况讨论：

①有1的 ②没有1的

第一种情况，方案数为 f[i-1][x-1]

第二种情况，方案数为 f[i-x][x] (此时 i 必须大于 x)

所以，状态转移方程为： f[i][x]=f[i-1][x-1]+f[i-x][x]

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[210][7];
int main()
{
int n,k;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
dp[i][i]=1;
}
for(int i=1;i<=k;i++)
{
dp[0][i]=0;
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=k;j++)
{
if(i>j) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];//有1和没有1 
else
dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
// cout<<dp[i][j]<<" "<<i<<" "<<j<<endl;
}
} 
cout<<dp[n][k];
return 0;

}

因为dfs的思路简单不容易错而且代码好写方便改错。这里因为要考虑到不重复，所以可以按升序记录每一次划分：记录上一次划分所用的数，保证当前划分所用数不小于上次划分所用分数，当划分次数等于k时比较该次划分所得总分是否与n相同并记录次数。

有一个不得不做的剪枝就是枚举当前划分所用分数时应该从last(上次划分所用分数)枚举到sum+i*(k-cur)<=n为止，因为之后划分的分数一定大于或等于当前划分所用分数。

#include<iostream>
using namespace std;
#define mod 100003
int dp[100000+10];
int n,k,ans=0;


void dfs(int last,int sum,int cur)
{
if(cur==k)
{
if(sum==n)
ans++;
return ;
}
for(int i=last;sum<=n;i++)
{
dfs(i,sum+i,cur+1);
}
}
int main()
{


cin>>n>>k;
dfs(1,0,0);
cout<<ans;
return 0;
}