初识斜率优化

引子

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，数形结合又是一种重要的数学思想。

在当今信息学竞赛中，某些纷繁复杂的试题背后，往往蕴含着丰富的几何背景，而计算几何类问题却又需要借助计算机强大的实数运算能力。正如华罗庚先生所说的“数形结合千般好”，在算法和程序设计中，巧妙地运用数形结合思想，可以顺利的破解问题，化难为易，找到问题的解题思路。

数形结合思想常包括以形助数、以数助形两个方面。

以形助数

正如前文所述，一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。

[例一]Raney引理的证明

[题意简述]

设整数序列A = {A_i, i=1, 2, …, N}，且部分和S_k=A₁+…+A_k，序列中所有的数字的和S_N=1。

证明：在A的N个循环表示[1]中，有且仅有一个序列B，满足B的任意部分和S_i均大于零。

[分析]

先来看一个例子，若有序列A = <1, 4, -5, 3, -2, 0>，其6个循环表示为

1.     <1,4, -5, 3, -2, 0>

2.     <4,-5, 3, -2, 0, 1>

3.     <-5,3, -2, 0, 1, 4>

4.     <3,-2, 0, 1, 4, -5>

5.     <-2,0, 1, 4, -5, 3>

6.     <0,1, 4, -5, 3, -2>

其中只有第4个序列，部分和为3, 1, 1, 2, 6, 1，满足成为序列B的条件。

若要用一般的代数或是组合方法来证明这个有趣的结论，似乎无从下手，但若要想到了用“形”来帮忙，问题就简单多了。

目标图形化

周期性的推广A序列，得到一个无穷序列，便于观察其循环表示，得到：

<A₁,A₂, …, A_N, A₁,A₂, …, A_N, …>

同时计算这个序列的部分和S_i，因为这个序列是周期性的，因此对于所有的k>0，均有S_k+N</