离散数学——递归

离散数学——递归

数学归纳法

数学归纳法证明的是 $\forall nP(n)$ 的成立，其中 $P(n)$ 是一个谓词，数学归纳法有两个步骤：

1. 基础步骤：证明 $P(1)$ 成立。
2. 归纳步骤：证明 $\forall n(P(n)\to P(n+1))$ 成立。

为了证明第二点，我们先假设 $P(k)$ 成立，这个技巧叫做归纳假设。

在数学归纳中，还有一类称为强归纳的数学归纳法：

1. 基础步骤：证明 $P(1)$ 成立。
2. 归纳步骤：证明 $\forall n({\bigcap }_{i=1}^{n}P(n)\to P(n+1))$ 成立。

强归纳也称第二类数学归纳法，完全归纳法。可以证明，强归纳和第一类数学归纳法是等价，即可以用数学归纳法证明的也可以用强归纳证明，反之也一样。

良序原理是数学归纳法的原理和基础，良序原理说明，一个非空的非负整数集合，都有一个最小元素。

关于欧几里得算法的证明

1. 基础步骤： $\gcd (a,0)=a$ ，正确性显然。
2. 归纳步骤：$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$