2021年第43周总结

2021年第43周总结

10.31

CF ECR 116

Problem D

首先集合大小比较应该保证，$k$左边的红色集合中的最小值大于蓝色集合中的最大值，$k$右边蓝色集合中的最小值应该大于蓝色集合中的最大值。

其次，枚举$k$，考虑每一行中以$k$为分界线的最小值和最大值，可以使用前后缀最大小值来解决。

首先，初始化将所有的列染成蓝色，然后将所有列按照列中最小值排序，从最大的开始染成红色，然后依次检查剩下的蓝色列，如果有不满足的一定要染成红色。根据左边的维护过程，连带维护右边的即可，可以使用multiset维护。

思路：过程模拟。
难点：最大最小值维护。

Problem E

计数DP好题。

设$dp[x][j]$为有$x$人，生命值的最大值为$j$的方案数，我们枚举在第一轮中死了$k$个人，那么这$k$个人的位置可能在$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)$，且生命值的可能性有$\min (x-1,j)$个，因此这$k$个人的方案数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)\times \min (x-1,j{)}^k$，然后递归地考虑剩下的$x-k$个人，因为$x-k$人必须还活着，那么方案数等同于$dp[x-k][\max (j-(x-1),0)]$（上限不能超过$j-(x-1)$），因此状态转移方程为：

$$dp[x][j]=\sum _{k=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}\right)\times \min (x-1,j{)}^k\times dp[x-k][\max (j-(x-1),0)]$$

初始状态为$\forall k\in [0,j],dp[0][k]=1$。

思路：计数DP。
难点：DP状态设计，转移方程，从死亡人数入手。

CF 752

Problem C

LCM半结论题，$\text{lcm}(1\dots 22)$就已经超过$1e^9$，因此内层循环不会超过$20$次。

Problem D

数论好题。

当$x>y$的时候，很显然$n=x+y$ 即可。难点在$x\le y$。

考虑处理模式的第一种方案，化为定义式：

$$n-\lfloor \frac{n}{x}\rfloor x=y-\lfloor \frac{y}{n}\rfloor n$$

考虑整除式不好处理，因此这种办法大概不行。

考虑第二种方法，化为倍数式：

$$\begin{gathered} n=ax+r \\ y=bn+r \\ y=abx+(b+1)r \end{gathered}$$

存在三个未知变量也不太好处理，但是评论区有人用这种方法枚举$a$和$b$居然过了，神奇。

正解是第三种处理模式的方法，也是我不知道的，画图法。

考虑离$y$最近的那个$kx$，当$n$正好为他们两个的中点的时候，此时$n$对$x$取模（左箭头）正好等于$y$对$n$取模（右箭头）。又因为题目中$x$和$y$都为偶数，因此中点必然是一个整数。

思路&难点：用画图法处理模式。

ABC 225

Problem F

DP好题，经过这题我对DP又有了深一层的理解。

先考虑拼接顺序问题，考虑如何固定拼接顺序，很显然根据排序规则$S_i+S_j<S_j+S_i$，排序即可，这样可以保证，任意选择$k$个字符串，按照排序完的相对顺序拼接，就是这$k$个字符串任意拼接的最优次序。

其次，考虑如何处理选择这$j$个字符串，有个很显然的DP方案，令$dp[i][j]$为前$i$个字符串中选择$j$个字符串的最优答案，转移方程：

$$dp[i][j]=\min (dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+S_i)$$

但是这么做是错的，必须从后向前更新DP才是正确的，即：

$$dp[i][j]=\min (dp[i+1][j],S_i+dp[i+1][j-1])$$

原因如图：

$A$即为$S_i$，$B$和$C$分别为递归答案。

最上面的一组是从后往前DP的过程，$B$和$C$字典序的顺序完全取决于$B$和$C$本身，并没有后效性，但是下面那组从前往后更新DP，$B$和$C$字典序的顺序并不完全取决于$B$和$C$本身，还取决于$A$，即$A$影响了前序DP的状态，具有后效性。

此题可以当做后向遍历解决DP后效性的模板题。

思路：排序+DP
难点：对DP后效性的理解