多项式算法——快速傅里叶变换FFT

多项式算法——快速傅里叶变换FFT

两个多项式函数相加的时间复杂度为$O(n)$，而相乘的时间复杂度为$O(n^2)$，即所有系数的笛卡尔积。傅里叶变换DFT将优化多项式相乘（以下简称卷积），而快速傅里叶变换则优化至$O(n\log n)$。

前置知识：

1. 微积分（欧拉公式）
2. 复变函数（单位元根）
3. 线性代数（矩阵方程）

多项式

本章定义的多项式函数为定义在实数域上，关于变量$x$形如：

$$A(x)=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j$$

的$n$次多项式，$a_j$为多项式的系数，如果多项式非零最高次数项的系数为$a_k$，那么我们说$A(x)$的次数为$k$，记作$degree(A)=k$。

任何一个严格大于多项式$A(x)$的次数的整数都是多项式$A(x)$的一个次数界。

多项式加法

两个次数界为$n$的多项式$A(x)$和$B(x)$的多项式相加，仍是一个次数界为$n$的多项式$C(x)$，点值满足$C(x)=A(x)+B(x)$，且系数满足：

$$C(x)=\sum _{j=0}^{n-1}(a_j+b_j)x^j$$

多项式乘法

两个次数界为$n$的多项式$A(x)$和$B(x)$的多项式相乘，其结果是一个次数界为$2n-1$的多项式$C(x)$。点值满足$C(x)=A(x)B(x)$，且系数满足：

$$C(x)=\sum _{j=0}^{2n-1}\sum _{i=0}^j{a}_i{b}_{j-i}{x}^j$$

也称卷积。

多项式表示法

系数表示

对于一个次数为$n$的多项式$A(x)={\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j$而言，其系数表示法是一组由系数组成的$n$维列向量$\vec{a}=(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$。

对于给定的一个系数表示法的多项式，我们可以通过霍纳法则（秦九韶算法）在$O(n)$时间内计算出点值$A(x_0)$，即：

$$A(x_0)=a_0+x_0(a_1+x_0(a_2+\dots +x_0(a_{n-1}))\dots ))$$

同时，我们对两个系数表示法的多项式只需要$O(n)$的时间内就能完成，只需要做一次向量加法即可。

现在考虑系数表示法的多项式相乘，需要在$O(n^2)$的时间内完成，因为需要做一次向量卷积（笛卡尔直积），记作$\vec{c}=\vec{a}\ast \vec{b}$。

点值表示

一个次数界为$n$的多项式的点值表示就是由一个$n$个点值对所组成的集合：

$$\{(x_0,y_0),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}$$

$y_k=A(x_k)$，使得所有取值点的$x_k$均不相同。

一个多项式的取值点的不同，表达也不同，故一个多项式的点值表示并不唯一。我们统一取值点为一个固定的点集$x_0,\dots ,x_{n-1}$，称为基底。

求值计算的逆（从点值表示法计算系数表示法的过程）叫做插值。

定理：只有点值集合的大小和多项式的次数界相同，其插值才是唯一的。

证明：

点值和插值可以由如下矩阵表示：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& x_0& \cdots & x_0^{n-1}\\ 1& x_1& \cdots & x_1^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_{n-1}& \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_n-1\end{array}\right]=[\begin{array}{c}\end{array}$$