图论-最大二分匹配

图论-最大二分匹配

最大二分匹配问题

给定一个无向图$G=(V,E)$，一个匹配是边的一个子集$M\subseteq E$，使得对于所有节点$v\in V$，子集$M$中最多有一条边与节点$v$相连。如果子集$M$中的某条边与节点$v$相连，则称节点$v$由节点$M$所匹配。否则，节点$v$就是没有匹配的。最大匹配是最大基数匹配，即对于任意匹配$M^{\prime }$，最大匹配$|M|\ge |M^{\prime }|$。这个匹配$M$被称为最大匹配。\

二分图，我们将注意力集中在寻找二分图的最大匹配上。在一个二分图中，节点集合可以被分成$L$与$R$，并且$V=L\cup R$，其中$L$和$R$是不相交的，并且边的集合$E$中所有的边都横跨$L$与$R$。

寻找最大二分匹配

我们将所有的边改成有向边，都从$L$指向$R$，并且我们设立一个源节点$s$，指向$L$，设立汇点$t$，$R$都指向$t$，并且令边的容量都是单位1。此时我们建立了一个流网络。

定理：对于任意一个匹配$M$，二分图所对应的流网络中都存在一个流$f$，使得$|f|=|M|$，反之也成立。

定理（完整性定理）：如果在一个流网络中，容量只取整数，那么Ford-Fulkerson方法在每一次迭代计算出的流$f$，$|f|$是整数，并且对于所有的$u,v\in V$，$f(u,v)$也是整数。

推论：对于最大二分匹配$M$，二分图所对应的流网络中最大流$f$，有$|f|=|M|$，反之也成立。

推论告诉我们，想找到一个最大匹配，我们只需要求一下最大流即可。