零钱兑换2（力扣）

题解

令$dp[i][j]$：使用$coins[0...i]$这么多的情况下，组成目标金额为j时的最少数量。$coins[i]$为第i个硬币
当不使用第i个硬币能取得目标金额获得的最少硬币数量为：
$dp[i][j]=dp[i-1][j-0coins[i]]+0$

当使用第i个硬币能取得目标金额，用最少的硬币数量为：
$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-k\ast coins[i]]+k)，k>=1且j-kcoins[i]\ge 0$

故

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],min(dp[i-1][j-k\ast coins[i]]+k)),j-k\ast coins[i]\ge 0$

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-cons[i]+1,dp[i-1][j-2cons[i]]+2,...,dp[i-1][j-kcons[i]]+k)（1）$

令j=j-cons[i],将其带入上述公式得：

$dp[i][j-cons[i]]=min(dp[i-1][j-cons[i],dp[i-1][j-2cons[i]]+1,...,dp[i-1][j-(k+1)cons[i]]+k)（2）$

由于k=k+1,且将公式2加1得：

$dp[i][j-cons[i]]+1=min(dp[i-1][j-cons[i]+1,dp[i-1][j-2cons[i]]+2,...,dp[i-1][j-(k+1)cons[i]]+k+1)（3）$

故公式（3）代入到公式（1）中得：

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]，dp[i][j-cons[i]]+1)$

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
    
        #利用动态规划求解
        dp = [[amount + 1] * (amount + 1) for i in range(len(coins) + 1)]
        #画网格进行求解
        #初始化第一行为0
        #进行初始化的设置]
        for i in range(len(coins) + 1):
            dp[i][0] = 0
        #如果构不成目标金额，最后的值是amout + 1
        for i in range(1,len(coins) + 1):
            for j in range(1, amount + 1):
                if j >= coins[i - 1]:
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], 1 + dp[i][j - coins[i - 1]])
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        if dp[-1][-1] == amount + 1:
            return -1
        else:
            return dp[-1][-1]