零钱兑换2(力扣)

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题解

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]:使用coins[0...i]coins[0...i]coins[0...i]这么多的情况下,组成目标金额为j时的最少数量。coins[i]coins[i]coins[i]为第i个硬币
当不使用第i个硬币能取得目标金额获得的最少硬币数量为
dp[i][j]=dp[i−1][j−0coins[i]]+0dp[i][j] = dp[i-1][j-0coins[i]]+0dp[i][j]=dp[i1][j0coins[i]]+0

当使用第i个硬币能取得目标金额,用最少的硬币数量为
dp[i][j]=min(dp[i−1][j−k∗coins[i]]+k),k>=1且j−kcoins[i]≥0dp[i][j]=min(dp[i−1][j−k∗coins[i]]+k),k>=1且j-kcoins[i]≥0dp[i][j]=min(dp[i1][jkcoins[i]]+k)k>=1jkcoins[i]0

dp[i][j]=min(dp[i−1][j],min(dp[i−1][j−k∗coins[i]]+k)),j−k∗coins[i]≥0dp[i][j] = min(dp[i-1][j],min(dp[i-1][j−k∗coins[i]]+k)),j-k*coins[i]≥0dp[i][j]=min(dp[i1][j],min(dp[i1][jkcoins[i]]+k)),jkcoins[i]0

dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i−1][j−cons[i]+1,dp[i−1][j−2cons[i]]+2,...,dp[i−1][j−kcons[i]]+k)(1)dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-cons[i]+1,dp[i-1][j-2cons[i]]+2,...,dp[i-1][j-kcons[i]]+k) (1)dp[i][j]=min(dp[i1][j],dp[i1][jcons[i]+1,dp[i1][j2cons[i]]+2,...,dp[i1][jkcons[i]]+k)1

令j=j-cons[i],将其带入上述公式得

dp[i][j−cons[i]]=min(dp[i−1][j−cons[i],dp[i−1][j−2cons[i]]+1,...,dp[i−1][j−(k+1)cons[i]]+k)(2)dp[i][j-cons[i]] =min( dp[i-1][j-cons[i], dp[i-1][j-2cons[i]]+1,...,dp[i-1][j-(k+1)cons[i]]+k) (2)dp[i][jcons[i]]=min(dp[i1][jcons[i],dp[i1][j2cons[i]]+1,...,dp[i1][j(k+1)cons[i]]+k)2

由于k=k+1,且将公式2加1得

dp[i][j−cons[i]]+1=min(dp[i−1][j−cons[i]+1,dp[i−1][j−2cons[i]]+2,...,dp[i−1][j−(k+1)cons[i]]+k+1)(3)dp[i][j-cons[i]]+1 =min( dp[i-1][j-cons[i]+1, dp[i-1][j-2cons[i]]+2,...,dp[i-1][j-(k+1)cons[i]]+k+1) (3)dp[i][jcons[i]]+1=min(dp[i1][jcons[i]+1,dp[i1][j2cons[i]]+2,...,dp[i1][j(k+1)cons[i]]+k+1)3

故公式(3)代入到公式(1)中得

dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−cons[i]]+1)dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-cons[i]]+1)dp[i][j]=min(dp[i1][j]dp[i][jcons[i]]+1)

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
    
        #利用动态规划求解
        dp = [[amount + 1] * (amount + 1) for i in range(len(coins) + 1)]
        #画网格进行求解
        #初始化第一行为0
        #进行初始化的设置]
        for i in range(len(coins) + 1):
            dp[i][0] = 0
        #如果构不成目标金额,最后的值是amout + 1
        for i in range(1,len(coins) + 1):
            for j in range(1, amount + 1):
                if j >= coins[i - 1]:
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], 1 + dp[i][j - coins[i - 1]])
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        if dp[-1][-1] == amount + 1:
            return -1
        else:
            return dp[-1][-1]
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