《算法笔记》读书记录DAY_14

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这篇博客探讨了计算阶乘和组合数的优化算法。对于阶乘问题，提出了利用质因数p的个数来计算n!中质因子p的个数，实现了O(logn)的时间复杂度。对于组合数C(n,m)的计算，提供了三种方法：直接计算（易溢出）、递推公式（动态规划优化）和定义式变形。这些算法对于大数值的计算具有更高的效率。

CHAPTER_5 数学问题入门

5.8.1关于n!的问题

n!表示n的阶乘，即 $n!=1\times 2\times 3\times...\times n$ 。

我们来讨论一个问题：求n!中有多少个质因子p。例如 $6=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6$ 。于是6!中有4个质因子2，因为2、4、6中各有1个2、2个2、1个2。

对于这个问题，直观的想法是计算从1~n每个数各有多少个质因子。即从2枚举到n，统计每个数中质因子p的个数。但是这种做法对n很大的情况是无法承受的，我们下面探讨更优的算法。

我们来看一个例子：10!质因子2的个数。

上例中，10!中有因子 $2^{1}$ 的数的个数为5，有因子 $2^{2}$ 的数的个数为2，有因子 $2^{3}$ 的数的个数为1。因此10!质因子2的个数为5+2+1=8。

仔细思考可以将上面过程推广为一个结论：n!中有 $(\frac{n}{p}+\frac{n}{p^{2}}+\frac{n}{p^{3}}+...)$ 个质因子p，其中除法均为向下取整。于是得到了O(logn)的算法，代码如下：

int cal(int n,int p) {
	int sum=0;
	while(n) {
		sum+=n/p;
		n/=p;
	}
	return sum;
}

5.8.2组合数的计算（1）

组合数 $C_{n}^{m}$ 是指从n个不同元素中选择m个元素的方案，也可写成C(n,m)。其计算式为 $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 。

这里还要提及组合数的两个性质：（1） $C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$ ；（2） $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$ 。

本节我们讨论组合数的第一个问题：如何计算 $C_{n}^{m}$ 。下面给出3种方法。

方法1：通过计算式直接计算

$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ ，我们先计算n!，然后令其分别除以m!和(n-m)!。显然，由于阶乘的庞大，这种方式计算组合数能接受的数据范围会很小，即使用long long类型也只能接受n<=20的数据范围。此法很容易造成溢出。

方法2：通过递推公式计算

首先我们要介绍一个递推公式： $C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}$ 。有了递推式，我们还需要确定递归边界。从直观上看，这个公式总是把n减一，而把m保持原样或者也减一，这样这个递推式最终可以把n和m变得相同，或是把m变成0。根据上面介绍的性质 $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$ ，我们得以确定边界。代码如下：

long long cal(long long n,long long m) {
	if(n==m||m==0)
		return 1;
	else
		return cal(n-1,m)+cal(n-1,m-1);
}

实际上，上面的算法还可以优化。在上面的递归时，会有很多C(n,m)是重复计算过的。我们用一个数组来记录C(n,m)计算的结果，如果下一次碰到就不用再重复计算了。

long long res[500][500]={0};

long long cal(long long n,long long m) {
	if(n==m||m==0)
		return 1;
	else if(res[n][m])
		return res[n][m];
	else {
		res[n][m]=cal(n-1,m)+cal(n-1,m-1);
		return res[n][m];
	}
}

方法3：通过定义式的变形来计算

该算法时间复杂度为O(m)，代码如下：

long long cal(long long n,long long m) {
	long long sum=1;
	for(long long i=1;i<=m;i++) {
		sum=sum*(n-m+i)/i;        //一定要先乘后除，才能保证结果为整数 
	}
	return sum;
}