《算法笔记》读书记录DAY_6

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#数据结构 #算法

于 2021-09-21 12:05:52 首次发布

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本文介绍快速幂算法及其实现，用于高效计算大数的幂次方，并通过模运算解决溢出问题。此外，还讲解了双指针技巧，演示如何合并两个有序数组，实现高效的数据处理。

CHAPTER_4 算法初步入门

4.5.3 快速幂

题目：

给定三个正整数a、b、m(a<10^9，b<10^18，1<m<10^9)，求 $a^{b}%m$ 。

思路：

这里采用快速幂的思想（又称二分幂）。快速幂基于以下事实：

（1）若b为奇数，则有 $a^{b}=a*a^{b-1}$ 。

（2）若b为偶数，则有 $a^{b}=a^{b/2}*a^{b/2}$ 。

显然，b是奇数的情况总可以在下一步转换为b是偶数的情况，而b是偶数的情况总可以在下一步转换为b/2的情况。这样在log(b)级别次数的转换后，可以把b变为0.

参考代码：

typedef long long LL;

LL b_pow(LL a,LL b,LL m) {
	if(b==0)
		return 1;                                      //a^0=1
	if(b%2)
		return a*b_pow(a,b-1,m)%m;                     //b为奇，计算a^b-1 
	else
		return return b_pow(a,b/2,m)*b_pow(a,b/2,m)%m; //b为偶，计算a^b/2 
}

4.6.1 two pointers

two pointers是一种思想。利用问题和序列的特性，使用两个下标i，j对序列进行扫描（可以同向扫描，可以反向），以较低的复杂度（一般是O(n)）解决问题。

题目：

假设有两个递增序列A与B，要求将他们合并为一个递增序列C。

如：A={1,2,5}，B={2,4,6}，合并后 C={1,2,2,4,5,6}。

思路：

设置两个下标i，j，初值都为0，分别表示指向A和B的第一个元素。依次向右移动，根据A[i]和B[j]的大小决定哪个放入C中。

（1）若A[i]<B[j]，则表示当前所剩元素中A[i]最小(因为元素递增，后面元素的必定比它大)。将A[i]放入C中，同时i++向右移一位。

（2）若A[i]>B[j]，则表示当前所剩元素中B[i]最小(同理，后面元素的必定比它大)。将B[i]放入C中，同时j++向右移一位。

（3）若A[i]=B[j]，则任选一个加入C，并让对应下标加1。

参考代码：

int merge(int a[],int b[],int *c,int n,int m) { //c为合并后数组的首地址，m和n为a序列和b序列的长度 
	int i=0,j=0,count=0;
	while(i<n&&j<m) {
		if(a[i]<=b[j]) {
			c[count++]=a[i];
			i++;
		}
		else {
			c[count++]=b[j];
			j++;			
		}
	}                                          //按上述思路依次判断并移动元素，当a和b序列有一个遍历完时退出循环
	while(i<n) {
		c[count++]=a[i];
		i++;		
	}                                          //如果a序列有剩余，则全部加入c 
	while(j<m) {
		c[count++]=b[j];
		j++;		
	}                                          //如果b序列有剩余，则全部加入c 	
	return count;
}