《算法笔记》读书记录DAY_11

最新推荐文章于 2025-12-02 15:32:05 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-02 15:32:05 发布 · 95 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #数据结构

算法学习专栏收录该内容

63 篇文章

订阅专栏

本文介绍了质因子分解的概念，即把正整数表示为质数的乘积形式。通过枚举质数并判断其是否为给定整数的因子，实现质因子分解。文中提供了一个C++代码示例，用于输入一个整数后，输出其质因子分解的乘法表达式。特别地，处理了1的情况，并讨论了如何优化算法，只遍历到平方根即可。

CHAPTER_5 数学问题入门

5.5质因子分解

质因子分解是指将一个正整数n(n>1)写成一个或多个质数乘积的形式。例如 $8=2^{3}$ ， $180=2^{2}\times3^{2}\times5^{1}$ 。

我们要将正整数分解为质数的乘积，可以先打印出素数表，而判断素数和打印素数表的方法我们已经在前面小节阐述过。然后我们定义一个结构体数组f[]存放质因子x以及x的个数。

struct factor {
	int x,num;   //质因子为x，num为其个数 
}f[20];

例如对于180来说，它的质因子有两个2、两个3、一个5。

f[0].x=2; f[0].num=2;

f[1].x=3; f[1].num=2;

f[2].x=5; f[2].num=1;

接下来我们看一个结论：对于正整数n，如果它在[2,n]上存在质因子，要么这些质因子全部小于等于 $\sqrt{n}$ ，要么只存在一个大于 $\sqrt{n}$ 的质因子，而其余质因子全部小于等于 $\sqrt{n}$ 。(该结论用反证法很容易证明)

上述结论给质因子分解提供了一个思路：

（1）枚举1~sqrt(n)范围内的所有质数p，判断p是否为n的因子。如果是，给f[]数组中增加p，并初始化num=0。然后，只要p还是n的因子，我们就令n=n/p、num++。一直重复这个操作，直到p不是n的因子为止（即n%p!=0）。

（2）结束上面步骤后，如果n仍然大于1，说明有且仅有一个大于sqrt(n)的质因子。将其加入f[]数组，并令数量等于1。

该逻辑代码如下：

for(int i=1;prime[i]<=sqrt(n);i++) {   //prime为素数表，从2~sqrt(n)范围枚举 
	if(n%prime[i]==0) {
		f[count].x=prime[i];           //将质因子prime[i]计入数组中 
		f[count].num=0;
		while(n%prime[i]==0) {
			f[count].num++;
			n/=prime[i];
		}                              //n不断除以prime[i]，计算x质因子有几个
		count++;                         //数量加1
	}
}
if(n>1) {                              //如果最后大于1，表示还有一个大于sqrt(n)的质因子
	f[count].x=n;
	f[count].num=1;
    count++;
}

题目：

给出一个int范围的整数，按照从小到大的顺序输出其分解为质因子的乘法算式。

输入样例：

97532468

输出样例：

97532468=2^2*11*17*101*1291

思路：

先打印素数表，然后按照上面思路进行即可。需要注意几个问题：

（1）题目说了int范围，素数表的范围maxn开到10^5即可

（2）要判段n==1时输出“1=1”

参考代码：

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn=100001;
int prime[maxn]={0},count=0;

struct factor {
	int x,num;
}f[15];

bool isPrime(int n) {
	if(n<=1)
		return false;
	int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
	for(int i=2;i<=sqr;i++) {
		if(n%i==0)
			return false;
	}
	return true;
}

void findPrime() {
	for(int i=2;i<maxn;i++) {
		if(isPrime(i))
			prime[++count]=i;
	}
}

int main() {
	int n,p_count=0;                  //p_count为质因子个数 
	cin>>n;
	if(n==1)                          //单独处理1 
		cout<<"1==1"<<endl;
	else {
		findPrime();
		int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
		cout<<n<<"=";                        //先按照格式将n输出 
		for(int i=1;prime[i]<=sqr;i++) {
			if(n%prime[i]==0) {
				f[p_count].x=prime[i];
				f[p_count].num=0;
				while(n%prime[i]==0) {
					f[p_count].num++;
					n/=prime[i];
				}
				p_count++;
			}
		}
		if(n!=1) {
			f[p_count].x=n;
			f[p_count].num=1;
			p_count++;
		}
		for(int i=0;i<p_count;i++) {
			if(i!=p_count-1) {
				if(f[i].num==1)
					cout<<f[i].x;
				else
					cout<<f[i].x<<"^"<<f[i].num;
				cout<<"*";
			}
			else {
				if(f[i].num==1)
					cout<<f[i].x;
				else
					cout<<f[i].x<<"^"<<f[i].num;
				cout<<endl;			
			}
		}
	}
	return 0;
}