数论-基础

质数筛

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;

int prime[N], cnt;
bool st[N];

//朴素筛法-O(nlogn)
void get_primes(int x) {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!st[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = i+i; j <= n; j += i) 
            st[j] = true;
    }
}

//埃式筛法-O(nloglogn)
void get_primes(int n) {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!st[i]){ 
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    } 
}

//线性筛法-O(n), n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
//算法核心：x仅会被其最小质因子筛去
void get_prime(int x) {
    for(int i = 2; i <= x; i++) {
        if(!st[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0; prime[j] <= x / i; j++) {
            //对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i<x/pj时，一定会被筛掉
            st[prime[j]*i] = true;
            if(i % prime[j] == 0) break;
            /*
            1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子
            2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子
            */
        }
    }
} 

int main() {
    int x;
    scanf("%d".&x);
    get_primes(x);
    printf("%d",cnt);
    return 0;
}

试除法求约数

#include<stdio.h>
#define N 100010
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t --)
    {
        int n;
        int a[N], b[N], cnta = 0, cntb = 0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1; i <= n / i; i ++)
        {
            if(n % i == 0)
            {
                a[cnta++] = i;
                if(i < n / i)
                    b[cntb++] = n / i;
            }
        }

        for(int i = 0 ; i < cnta; i ++)  printf("%d ",a[i]);
        for(int i = cntb - 1; i >= 0; i --)  printf("%d ",b[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

约数的个数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map<int, int> primes;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }

        if (x > 1) primes[x] ++ ;
    }

    LL res = 1;
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map<int, int> primes;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }

        if (x > 1) primes[x] ++ ;
    }

    LL res = 1;
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;

最大公约数

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;


int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }

    return 0;
}

欧拉函数

#include <iostream>

using namespace std;


int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        printf("%d",phi(x));
    }

    return 0;
}

筛法求欧拉函数

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

void get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1; 
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j]; 
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_eulers(n);

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}
代码解释：
质数ii的欧拉函数即为phi[i] = i - 1：1 ~ i−1i−1均与ii互质，共i−1i−1个。
phi[primes[j] * i]分为两种情况：
① i % primes[j] == 0时：primes[j]是i的最小质因子，也是primes[j] * i的最小质因子，因此1 - 1 / primes[j]这一项在phi[i]中计算过了，只需将基数NN修正为primes[j]倍，最终结果为phi[i] * primes[j]。
② i % primes[j] != 0：primes[j]不是i的质因子，只是primes[j] * i的最小质因子，因此不仅需要将基数NN修正为primes[j]倍，还需要补上1 - 1 / primes[j]这一项，因此最终结果phi[i] * (primes[j] - 1)。

快速幂

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;


LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * (LL)a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}


int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%lld\n", qmi(a, b, p));
    }

    return 0;
}