洛谷P4147_最大子矩阵处理_悬线法

本文介绍了一种计算二维矩阵中最大F矩形面积的方法,通过预处理得到每个位置的左右边界及向上扩展的最大高度,最终求得最大面积。

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题目大意:第一行n, m表示矩形土地有n行m列。接下来输入土地,由F和R组成,问最大的F矩形土地的面积,答案乘以3

将F置为1,R置为0,相当于求最大1矩阵的面积
l[i][j]表示从坐标(i, j)最左边到达0的位置
r[i][j]表示从坐标(i, j)最右边到达0的位置
h[i][j]表示从坐标(i, j)向上扩展的最大高度
则面积表达式:(r[i][j] - l[i][j] - 1) * h[i][j];

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <string>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 1010;

int n, m;
int a[maxn][maxn];//地图,F为1,R为0
int l[maxn][maxn], r[maxn][maxn];//该坐标最左(右)边到达0的位置
int h[maxn][maxn];//该位置向上能扩展的最大高度
int ans;

void solve()
{
    //初始化
    int i, j;
    ans = 0;
    for(i = 0; i <= m; ++i)
    {
        h[0][i] = 0;
        l[0][i] = 0;
        r[0][i] = m + 1;
    }

    for(i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(j = 1; j <= m; ++j) h[i][j] = a[i][j]?h[i - 1][j]+1:0;
        int tmp = 0;//初始认为向左初次达到不是x的位置是0
        for(j = 1; j <= m; ++j)
            if(a[i][j]) l[i][j] = max(l[i - 1][j], tmp);
            else l[i][j] = 0, tmp = j;//将l[i][j]=0使其不对下一行产生影响
        tmp = m + 1;//初始认为向右初次达到不是x的位置是m+1
        for(j = m; j; --j)
            if(a[i][j]) r[i][j] = min(r[i - 1][j], tmp);
            else r[i][j] = m + 1, tmp = j;
        for(j = 1; j <= m; ++j)
        {
            int ret = (r[i][j] - l[i][j] - 1) * h[i][j];
            ans = max(ans, ret);
        }
    }
}

int main()
{
    int i, j;
    char ch;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        for(j = 1; j <= m; ++j)
    {
        cin >> ch;
        if(ch == 'F') a[i][j] = 1;
    }
    solve();
    printf("%d\n", ans * 3);
    return 0;
}
### 关于最大子矩阵问题的解决方案 最大子矩阵问题是经典的动态规划问题之一,其目标是从一个给定的矩阵中找出具有最大和的子矩阵。以下是解决该问题的一种常见方。 #### 方概述 一种常见的策略是通过降维的方式将二维问题转化为一维问题处理。具体来说,可以通过计算每一列的部分和(即前缀和),从而将二维数组压缩成多个一维数组。对于这些一维数组,可以应用类似于求解最大子段和的方来得到最优解[^1]。 #### 前缀和的应用 为了高效地计算子矩阵的和,通常采用二维前缀和的技术。设 `prefixSum[x2][y2]` 表示从 `(1, 1)` 到 `(x2, y2)` 的矩形区域内所有元素的总和,则任意子矩阵 `(x1, y1), (x2, y2)` 的和可通过如下公式快速得出: \[ \text{subMatrixSum} = \text{prefixSum}[x2][y2] - \text{prefixSum}[x1-1][y2] - \text{prefixSum}[x2][y1-1] + \text{prefixSum}[x1-1][y1-1] \] 此公式的推导基于二维前缀和递推关系[^3]。 #### 动态规划实现 下面是一个完整的 C++ 实现代码,展示了如何结合前缀和与动态规划技术解决问题: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 105; int matrix[MAXN][MAXN]; int prefixSum[MAXN][MAXN]; // 计算二维前缀和 void computePrefixSum(int n, int m) { for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { prefixSum[i][j] = matrix[i][j] + prefixSum[i-1][j] + prefixSum[i][j-1] - prefixSum[i-1][j-1]; } } } // 获取子矩阵和 int getSubmatrixSum(int x1, int y1, int x2, int y2) { return prefixSum[x2][y2] - prefixSum[x1-1][y2] - prefixSum[x2][y1-1] + prefixSum[x1-1][y1-1]; } int main() { int n, m; cin >> n >> m; // 输入矩阵数据 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { cin >> matrix[i][j]; } } computePrefixSum(n, m); int maxi = INT_MIN; // 枚举左边界和右边界 for (int l = 1; l <= m; ++l) { for (int r = l; r <= m; ++r) { vector<int> dp(n + 1, 0); for (int i = 1; i <= n; ++i) { dp[i] = max(dp[i-1] + getSubmatrixSum(i, l, i, r), getSubmatrixSum(i, l, i, r)); maxi = max(maxi, dp[i]); } } } cout << maxi << endl; return 0; } ``` 上述代码实现了以下功能: 1. **输入读取**:接收矩阵尺寸及其元素。 2. **前缀和预处理**:加速后续子矩阵和查询操作。 3. **动态规划核心逻辑**:枚举每一对列作为左右边界,并在此基础上执行一次最大子段和运算。 这种方的时间复杂度为 \(O(N^2M)\),其中 \(N\) 是行数,\(M\) 是列数,在合理范围内能够满足性能需求[^5]。 --- ###
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