利用拉朗日插值法优化单调函数曲线-优快云博客

本文探讨了在数学计算方法课程中，如何通过拉朗日插值法处理并优化具有严格单调性的函数曲线。面对小白同学因课堂走神导致的额外点位收集，文章详细介绍了其制定的取点规则，并提供了统计曲线上最多点数的解题思路，最终通过编程实现了解决方案。

作业题

时间限制： 3000 ms | 内存限制： 65535 KB

难度： 3

描述

小白同学这学期有一门课程叫做《数值计算方法》，这是一门有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科……

今天他们的Teacher S，给他们出了一道作业题。Teacher S给了他们很多的点，让他们利用拉格朗日插值公式，计算出某严格单调函数的曲线。现在小白抄下了这些点，但是问题出现了，由于我们的小白同学上课时走了一下神，他多抄下来很多点，也就是说这些点整体连线不一定还是严格递增或递减的了。这可怎么处理呢。为此我们的小白同学制定了以下的取点规则：

1、取出尽可能多的满足构成严格单调曲线的点，作为曲线上的点。

2、通过拉格朗日插值公式，计算出曲线的方程

但是，他又遇到了一个问题，他发现他写下了上百个点。[- -!佩服吧],这就很难处理了(O_O).。由于拉格朗日插值公式的计算量与处理的点数有关，因此他请大家来帮忙，帮他统计一下，曲线上最多有多少点，以此来估计计算量。

已知：没有任何两个点的横坐标是相同的。

输入

本题包含多组数据：
首先，是一个整数T，代表数据的组数。
然后，下面是T组测试数据。对于每组数据包含两行：
第一行：一个数字N(1<=N<=999),代表输入的点的个数。
第二行：包含N个数对X(1<=x<=10000),Y(1<=Y<=10000),代表所取的点的横纵坐标。

输出

每组输出各占一行，输出公一个整数，表示曲线上最多的点数

样例输入

2
2
1 2 3 4
3
2 2 1 3 3 4

样例输出

2
2

解题思路：因为横坐标没有重复，所以对横坐标进行排序后，转换成对纵轴求最长（递增或递减）子序列；

# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
# include <string.h>
# define MAX 2000
# define max(a,b)a>b?a:b


typedef struct Node
{
	int x,y;
}Node;


int com(const void *a,const void *b)
{
	struct Node *c = (Node*)a;
	struct Node *d = (Node*)b;
	if (c->y != d->y )
		return c->x - d->x;
}
int main(void)
{
	int i,j,m,n,dp1[MAX],dp2[MAX],count;
	Node a[MAX];
	scanf("%d", &m);
	while (m--)
	{
		scanf("%d", &n);
		memset(dp1,0,MAX*sizeof(int));
		memset(dp2,0,MAX*sizeof(int));
		for (i = 0; i < n; i++)
			scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
		qsort(a,n,sizeof(a[0]),com);
		for (i = 1; i < n; i++)
			for (j = i - 1; j >= 0; j--)
			{
				if (a[j].y < a[i].y)
				    dp1[i] = max(dp1[i],dp1[j] + 1);
				if (a[j].y > a[i].y)
					dp2[i] = max(dp2[i],dp2[j] + 1);
			}
			count = 0;
			for (i = 0; i < n; i++)
			{
				count=max(count,dp1[i]);
				count=max(count,dp2[i]);
			}
			printf("%d\n", count + 1);
	}


	return 0;
}

最优代码



     
      #include<iostream>
     
     
      02.
      #include<cstdio>
     
     
      03.
      #include<cstring>
     
     
      04.
      #include<algorithm>
     
     
      05.
      #include<functional>
     
     
      06.
      using namespace std;
     
     
      07.
      #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
     
     
      08.
      const int MAX=10010;
     
     
      09.
      int y[MAX],tmp[MAX],tmp2[MAX];
     
     
      10.
      int main()
     
     
      11.
      {
     
     
      12.
      int t,n,x,top1,top2;
     
     
      13.
      scanf("%d",&t);
     
     
      14.
      while(t--)
     
     
      15.
      {
     
     
      16.
      CLR(y,0);
     
     
      17.
      scanf("%d",&n);
     
     
      18.
      for(int i=0;i!=n;i++)
     
     
      19.
      {
     
     
      20.
      scanf("%d",&x);
     
     
      21.
      scanf("%d",&y[x-1]);
     
     
      22.
      }
     
     
      23.
      top1=top2=0;
     
     
      24.
      int num=remove(y,y+MAX,0)-y;
     
     
      25.
      for(int i=0;i!=num;i++)
     
     
      26.
      {
     
     
      27.
      int *p=lower_bound(tmp,tmp+top1,y[i]);
     
     
      28.
      int *q=lower_bound(tmp2,tmp2+top2,y[i],greater<int>());
     
     
      29.
      if(p-tmp==top1) ++top1;
     
     
      30.
      if(q-tmp2==top2) ++top2;
     
     
      31.
      *p=y[i];
     
     
      32.
      *q=y[i];
     
     
      33.
      }
     
     
      34.
       
     
     
      35.
      printf("%d\n",max(top1,top2));
     
     
      36.
      }
     
     
      37.
      }

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  #include<iostream>
 
  02.
  #include<cstdio>
 
  03.
  #include<cstring>
 
  04.
  #include<algorithm>
 
  05.
  #include<functional>
 
  06.
  using namespace std;
 
  07.
  #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr))
 
  08.
  const int MAX=10010;
 
  09.
  int y[MAX],tmp[MAX],tmp2[MAX];
 
  10.
  int main()
 
  11.
  {
 
  12.
  int t,n,x,top1,top2;
 
  13.
  scanf("%d",&t);
 
  14.
  while(t--)
 
  15.
  {
 
  16.
  CLR(y,0);
 
  17.
  scanf("%d",&n);
 
  18.
  for(int i=0;i!=n;i++)
 
  19.
  {
 
  20.
  scanf("%d",&x);
 
  21.
  scanf("%d",&y[x-1]);
 
  22.
  }
 
  23.
  top1=top2=0;
 
  24.
  int num=remove(y,y+MAX,0)-y;
 
  25.
  for(int i=0;i!=num;i++)
 
  26.
  {
 
  27.
  int *p=lower_bound(tmp,tmp+top1,y[i]);
 
  28.
  int *q=lower_bound(tmp2,tmp2+top2,y[i],greater<int>());
 
  29.
  if(p-tmp==top1) ++top1;
 
  30.
  if(q-tmp2==top2) ++top2;
 
  31.
  *p=y[i];
 
  32.
  *q=y[i];
 
  33.
  }
 
  34.
   
  35.
  printf("%d\n",max(top1,top2));
 
  36.
  }
 
  37.
  }