2、系统建模、状态估计与故障诊断中的滤波设计

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原创最新推荐文章于 2026-07-03 12:37:33 发布 120 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

系统建模、状态估计与故障诊断中的滤波设计

1. 故障诊断的重要性与方法概述

随着科技的飞速发展，现代复杂工程系统的规模越来越大，如电力系统工程、冶金和石化行业以及电网系统等。这些现代产业具有大规模、集成化、自动化以及对设备高度依赖的特点。系统建模、状态估计和故障诊断对于这些系统至关重要，因为一旦系统发生故障，不仅会造成经济损失，还会危及员工的人身安全。

故障诊断是指利用系统中的各种信息来评估系统的整体运行和故障状态的一种手段。具体来说，它可以通过各种检查和测试方法检测系统和设备是否存在故障，然后进一步确定故障的位置以及故障系统中的具体故障类型或值。故障诊断的过程通常包括三个环节：故障检测、故障隔离和故障识别。

在实际应用中，基于分析模型的方法是最早研究且最为深入和成熟的方法。其中，状态估计法和参数估计法属于估计领域，故障诊断的准确性依赖于对系统模型的精确分析，即通过处理一系列带有干扰信号和测量噪声的实际观测数据，获得各种所需状态或参数的估计值。等价空间法的基本原理是通过实际系统的输入和输出值检测被诊断对象的系统数学模型的等价性，以进行故障诊断。

基于知识的方法随着人工智能技术的发展，其应用研究正在不断深化和拓展。而基于信号处理的方法则广泛应用于大规模生产和化工过程等难以建立数学模型的领域，但通常需要与其他故障诊断方法结合使用，以提高故障诊断的性能。

2. 传统滤波设计方法

在系统识别、状态估计和故障诊断中，通常需要根据系统的可用输入、输出和可测量观测数据进行操作，而这些数据往往会受到噪声的影响。噪声会导致数据不准确，因此需要对数据进行滤波以获得真实数据。

传统的滤波设计方法主要包括：
- 维纳滤波 ：由美国科学家维纳在 1942 年提出，该理论通过分析功率谱来实现滤波器设计。然而，它对维纳方程的计算要求过高，使用无限历史数据，无法处理实时数据，并且不适用于多变量、时变和非平稳随机信号的滤波，因此在实际应用中受到很大限制。
- 卡尔曼滤波 ：在 20 世纪 60 年代，R.E. Kalman 和 R.S. Bucy 提出了基于系统状态方程、测量方程和相关统计特性的滤波器递归估计计算方法。卡尔曼滤波器为线性高斯问题提供了最优解，近年来在目标跟踪、机器人控制和故障诊断等领域得到了广泛应用。
- 扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波和自适应滤波 ：这些方法是为了解决非线性系统或对动态系统特性了解不完整的复杂估计问题而提出的近似计算方法。它们扩展了卡尔曼滤波的应用范围。
- 粒子滤波 ：基于非参数蒙特卡罗模拟方法实现递归贝叶斯估计，并以样本形式描述系统状态的后验概率分布。其特点是需要对大量粒子进行采样估计，导致算法计算量大、实时性差。但由于它通常适用于处理非线性和非高斯滤波问题，因此受到了许多学科专家和学者的关注，并提出了跨学科融合的改进算法。

然而，上述传统滤波设计方法要求系统的过程干扰和测量噪声满足特定的分布要求。但在许多实际工程领域，噪声和干扰的概率分布的先验知识通常难以获取，甚至有些噪声本身不具有随机特性，难以用统计规律描述。如果将这些方法应用于实际系统的建模、状态估计和故障诊断问题，可能会导致系统建模不准确、状态估计误差以及故障诊断的漏判或误判。因此，这些方法在实际应用中存在一定的局限性。

3. 非概率滤波设计方法 - 集员滤波

鉴于传统滤波设计方法的局限性，具有未知但有界（UBB）噪声的集员滤波方法得到了应用，并引起了专家和学者的关注。

以离散时间线性系统的状态估计为例：
[
\begin{cases}
\mathbf{x}_{k + 1} = A\mathbf{x}_k + B\mathbf{u}_k + D_1\mathbf{w}_k \
\mathbf{y}_k = C\mathbf{x}_k + D_2\mathbf{v}_k
\end{cases}
]
其中，(\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^n)，(\mathbf{u}_k \in \mathbb{R}^r) 和 (\mathbf{y}_k \in \mathbb{R}^p) 分别是状态、输入和输出向量，(A)、(B)、(D_1)、(C)、(D_2) 是具有适当维度的参数矩阵，(\mathbf{w}_k \in \mathbb{R}^w) 和 (\mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^v) 是未知但有界的干扰和测量噪声，假设初始状态也是未知但有界的。

集员滤波估计器在每个采样时间计算一个包含所有可能系统状态的可行集，该可行集与干扰、不确定性和测量噪声一致。集员估计的问题在于可行集的复杂度会随着时间增加。为了克服这个问题，可以用规则的空间几何形状近似描述可行集，常见的空间几何形状包括椭球体、立方体、区间、多面体、平行多面体和 zonotope 等。根据集合的几何形状，集员滤波算法主要包括椭球算法、立方算法、区间算法、多面体算法、平行多面体算法和 zonotope 算法等。

以椭球集员滤波算法为例，假设系统中的不确定性和初始状态由椭球界定，即 (\mathbf{w} k \in W)，(\mathbf{v}_k \in V) 和 (\mathbf{x}_0 \in X_0)。集员估计计算包含未知状态 (\mathbf{x}_k) 所有可能值的椭球集，其步骤如下：
1. 预测步骤 ：给定系统方程，使用状态方程计算预测椭球 (\overline{X}_k = A\hat{X} {k - 1} \oplus W)，该椭球为系统的不确定轨迹提供一个边界。
2. 测量步骤 ：使用测量值 (\mathbf{y} k) 计算与测量一致的状态集 (X {\mathbf{y} k} = {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{y}_k - C\mathbf{x} \in V})。
3. 校正步骤 ：通过 (X {\mathbf{y}_k}) 和 (\overline{X}_k) 的交集计算时间 (k) 时的状态估计集 (\hat{X}_k)。

集员滤波方法与传统滤波方法相比，具有以下优点：
- UBB 噪声假设在许多实际情况下比随机噪声假设更实用，例如模数转换器或传感器引入的测量误差、机器数的舍入误差和建模误差等都可以视为有界误差。
- UBB 噪声假设所需的先验知识较少，只需要知道不确定性的上下界，而无需考虑界内的分布。因此，在 UBB 噪声假设下的集员滤波方法比随机噪声假设下的方法更具鲁棒性。
- 当处理参数不确定的系统时，系统的建模不确定性也可以视为有界噪声，因此集员滤波方法可以方便地处理系统存在未建模动态的情况。

下面是集员滤波算法过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[已知\(\hat{X}_{k - 1}\)] --> B[预测步骤：计算\(\overline{X}_k = A\hat{X}_{k - 1} \oplus W\)];
    B --> C[测量步骤：计算\(X_{\mathbf{y}_k} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{y}_k - C\mathbf{x} \in V\}\)];
    C --> D[校正步骤：计算\(\hat{X}_k = X_{\mathbf{y}_k} \cap \overline{X}_k\)];

由于集员滤波方法具有上述优点，自提出以来，它已广泛应用于系统建模、状态估计和故障诊断等领域。

系统建模、状态估计与故障诊断中的滤波设计

4. 不同集员滤波算法的研究进展

集员滤波算法在不断发展和完善，不同类型的算法都有各自的研究成果。

4.1 椭球集员滤波算法

早期 Schweppe 在 1968 年就使用椭球近似来描述状态可行集，并给出了椭球集员滤波算法。1982 年，Fogel 和 Huang 引入椭球到参数可行集的近似描述中，提出了两种递归外部椭球算法（FH 算法），一种是最小化椭球体积，另一种是最小化椭球迹算法。为了处理 FH 算法的复杂性，Deller 给出了一种脉动结构的算法实现，有效提高了运算速度。Belforte 和 Bona 基于 FH 算法提出了改进的 FH 算法（MFH 算法），与 FH 算法相比，MFH 算法能获得体积更小的椭球。Pronzato 证明了 MFH 算法在数学上等价于具有平行切割的最小体积椭球 EPC 算法。Cheung 通过几何方法推导了所谓的最优体积椭球算法，实际上它等价于 EPC 算法，并给出了收敛结论。

在实际应用中，有研究提出了椭球边界集员识别算法，用于严格传播有界不确定性，并给出包围真实参数值的故障参数的可行集。通过在识别过程中对预测和观测参数集进行一致性检查，可以在线检测和隔离由参数突变引起的故障。还有研究使用椭球包裹真实参数值，通过检测椭球和测量带是否重叠来判断是否存在故障。故障发生后，全局扩展椭球并与测量带更新以完成故障隔离。

4.2 立方集员滤波算法

Milanese 和 Belforte 为线性系统提出了立方集员估计方法，他们将可行集的立方外部计算问题转化为求解几个线性规划问题。后来，Milanese 和 Vicino 将几何规划方法引入集员识别，并为一类非线性系统给出了立方集员估计算法。不过，由于可行集的椭球和立方体通常包含大量不相容元素，在实践中相对保守。

4.3 多面体集员滤波算法

为了准确描述可行集，提出了近似或精确的多面体算法。但随后发现，精度的提高带来了巨大的计算负担。为了在精度和计算复杂度之间取得更好的平衡，Vicino 和 Chisci 提出了最小体积累积平行多面体算法，仿真结果表明该算法能以较低的计算成本获得满意的近似描述效果。还有研究提出了一种基于使用多面体来界定参数不确定性集的鲁棒集员故障检测方法，该算法能够处理样本之间参数有界变化的系统，并且可以自然地进行指示故障的一致性检查。

4.4 区间集员滤波算法

Jaulin 和 Walter 是最早将区间分析应用于集员估计的学者。1993 年，他们提出了通过区间分析进行集反演（SIVIA）算法，该算法可以处理非线性系统的集员识别问题。2000 年后，基于区间分析的集员滤波算法也相继发表。由于 SIVIA 需要二分法，不适合处理高维数据，因此有文献提出了改进算法以克服维数灾难的困难。基于区间估计的集员滤波算法可以处理一大类非线性系统的集员估计问题，效果显著，并且其优点之一是能够确保全局优化的特性，这是大多数算法所不具备的。还有研究提出了用于部分可测量输出的区间观测器，并开发了基于区间观测器的未知输入重构方法，最后设计了基于观测器的状态反馈和未知输入控制器，并分析了闭环系统的稳定性。

4.5 zonotope 集员滤波算法

1998 年，Kunn 首次指出使用 zonotope 可以有效控制翘曲效应。Alamo 等人和 Combastel 分别为非线性离散时间系统和非线性连续时间系统给出了 zonotope 集员滤波算法。由于 zonotope 可以准确表达系统参数的时变特性而无需近似，Bravo 等人在已有研究工作的基础上，为时变参数离散时间系统给出了 zonotope 集识别算法。在 zonotope 集员估计算法的测量更新过程中，需要计算 zonotope 和带的交集。有文献提出了外部计算方法，为了克服外部计算方法的缺陷，有文献提出了奇异值分解方法来计算包含 zonotope 和带交集的 zonotope。此后，zonotope 集员滤波算法得到了快速发展。有研究提出了一种改进的 zonotopic 方法用于具有噪声和参数有界描述的非线性离散时间系统的集员状态估计，在时间更新中使用区间算术计算包含系统不确定轨迹的 zonotope，在观测更新中使用改进的 zonotope 和带的交集算法获得包围不确定轨迹与与观测输出一致的状态空间区域交集的 zonotope，仿真实验证明改进算法得到的 zonotope 比之前算法得到的更紧密。还有研究基于故障可检测性指标分析设计了 zonotopic 故障估计滤波器，通过 zonotope 最小化优化滤波器增益以确保估计精度，该滤波器不仅可以估计故障幅度，还可以在区间内提供故障估计结果，并且具有非奇异结构，易于实现。另外，有研究针对一类线性参数时变描述符系统研究了 zonotopic 故障检测观测器设计，采用 zonotopic 方法估计残差的包络，基于 P - 半径实现 zonotopic 大小优化准则以衰减干扰和测量噪声的影响，基于广义 Kalman - Yakubovich - Popov 引理引入有限频率以提高故障检测性能。

5. 总结与对比

在实际应用中，需要根据具体的系统特点、计算资源和对精度的要求来选择合适的集员滤波算法。例如，如果系统是线性的，对计算速度要求较高，椭球集员滤波算法可能是一个不错的选择；如果是时变参数系统，zonotope 集员滤波算法可能更合适；如果对精度要求极高且计算资源充足，多面体集员滤波算法可能是首选。

下面是选择集员滤波算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[系统特点分析] --> B{是否为线性系统};
    B -- 是 --> C{对计算速度要求高吗};
    C -- 是 --> D[椭球集员滤波算法];
    C -- 否 --> E{对精度要求极高吗};
    E -- 是 --> F[多面体集员滤波算法];
    E -- 否 --> G[立方集员滤波算法];
    B -- 否 --> H{是否为时变参数系统};
    H -- 是 --> I[zonotope 集员滤波算法];
    H -- 否 --> J{对全局优化有要求吗};
    J -- 是 --> K[区间集员滤波算法];
    J -- 否 --> L[根据其他因素综合选择];

总之，集员滤波方法为系统建模、状态估计和故障诊断提供了一种有效的解决方案，不同算法的发展和应用为解决各种实际问题提供了更多的选择。在未来的研究和应用中，可以进一步探索不同算法的优化和组合，以更好地满足各种复杂系统的需求。