9、系统建模、状态估计与故障诊断中的滤波设计

系统建模、状态估计与故障诊断中的滤波设计

在系统建模、状态估计和故障诊断领域，滤波设计是一项关键技术。本文将介绍相关的算法和方法，并通过数值模拟和直流电机系统模拟来验证其有效性。

1. 区间收缩与算法关系

在区间分析中，$U_i$（$i = 1, \cdots, m$）是第 $i$ 维收缩后得到的区间盒。其中，式（5.44）中的 $U_1$ 可视为图 5.1 中的 $[f_s^k] 1$。由于区间盒未收缩的维度具有初始宽度，所以 $U_1, \cdots, U {m - 1}$ 由可行集、不可行集和近似集组成。但对于 $U_i$（$i = 1, \cdots, m - 1$）的第 $i$ 维，该区间是最紧凑的，不包含近似部分。最终的盒子 $U_m$ 由可行集和近似集组成，类似于 $F_{SIVIA}^k$，因此有 $[f_s^k] \subset F_{SIVIA}^k$。

根据定理 5.4，如果 SIVIA 算法将 $F_{SIVIA}^k$ 作为解集，在保证精度的同时可能会丢失部分真实集。DVSIIC 算法的解集 $[f_s^k]$ 宽度大于 SIVIA 算法的主要原因是，对宽度小于给定精度的不确定集的选择不同。不过，在实际应用中，由于给定的精度 $\varepsilon$ 足够小，这种差异可以忽略不计。

2. 数值模拟

考虑如下二阶动态系统：
[
x_{k + 1} =
\begin{bmatrix}
0.6 & 0.5 \
-0.2 & -0.3
\end{bmatrix}
x_k +
\begin{bmatri