一种快速判断是否为质数的方法

最新推荐文章于 2022-11-17 17:27:06 发布
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本文介绍了一种用于判断整数是否为素数的有效算法。该算法首先检查小于等于7的特殊情况，然后通过排除2、3、5的倍数来减少不必要的计算，并使用sqrt(x)作为循环的上限以提高效率。
  public   static   boolean  isprime( int  x)  {
    if (x <= 7) {
      if (x == 2 || x == 3 || x==5 || x == 7)
        return true;
    }
    int c = 7;
    if (x % 2 == 0)
      return false;
    if (x % 3 == 0)
      return false;
    if (x % 5 == 0)
      return false;
    int end = (int) Math.sqrt(x);
    while (c <= end) {
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 4;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 2;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 4;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 2;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 4;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 6;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 2;
      if (x % c == 0) {
        return false;
      }
      c += 6;
    }
    return true;
  }
 
老紫竹
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米勒-拉宾素性检验是一种概率型的素性判断方法，其基本思想是随机选择一个数作为证据，然后利用快速幂取模算法来检验该证据能否证明原数不是素数。由于是概率型算法，所以存在一定的误判率，但通常可以通过选取多个...
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快速判断质数
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下图是一百以内质素表 bool isPrime(int num) { if (num < 3) return num > 1; //不在6两侧的数一定不是质数 if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) return false; int sq = (int)sqrt(num); for(int i=5;i&...
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做OJ的时候碰到了一个判断素数的方法，考虑到素数使用传统暴力方法比较耗时间，所以参考了以下这篇文章，做了个笔记。 https://www.cnblogs.com/IceHowe/p/11186862.html。 常规方法 素数的定义是大于1的自然数中，除了自己本身和1之外，没有其他的因数的数叫做素数或者质数。 因此常规方法就是将2~N-1的数同时与N相除，如果余数为0，则不是素数。若所有余数都是非0的，那么就是素数。代码我这里就省略了。 更有效的方法 定理1：大于5的素数，一定分布在6的倍数左右。例如 5、
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要**快速判断一个整数是否为质数**，我们需要结合数学原理和编程优化技巧。以下是几种从基础到高效的策略，适用于不同场景。 --- ### ✅ 方法一：基础优化版（适用于中等大小的整数） ```java public static boolean isPrime(int n) { if (n <= 1) return false; if (n == 2) return true; if (n % 2 == 0) return false; // 排除偶数 // 只检查奇数因子，从3到√n for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) { if (n % i == 0) return false; } return true; } ``` #### 🔍 解释： - 时间复杂度：**O(√n)**，但跳过了所有偶数，实际运行速度接近 O(√n / 2) - 空间复杂度：O(1) - 适合判断单个数是否为质数（如 n < 10^9） --- ### ✅ 方法二：预处理 + 埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）——批量判断更快 如果你需要频繁判断多个数是否为质数（比如 1~10000 内的所有质数），使用**筛法预处理**是最快的。 ```java import java.util.Arrays; public class SievePrimeChecker { private static boolean[] isPrime; // 预处理生成 [0, max] 范围内的质数标记数组 public static void sieve(int max) { isPrime = new boolean[max + 1]; Arrays.fill(isPrime, true); isPrime[0] = isPrime[1] = false; for (int i = 2; i * i <= max; i++) { if (isPrime[i]) { for (int j = i * i; j <= max; j += i) { isPrime[j] = false; } } } } // 快速查询 public static boolean isPrime(int n) { if (n < 0 || n >= isPrime.length) return false; return isPrime[n]; } public static void main(String[] args) { sieve(100); // 预处理 0~100 System.out.println("97 是质数吗？" + isPrime(97)); // true } } ``` #### 🔍 优势： - 预处理时间：O(n log log n) - 查询时间：**O(1)** —— 每次判断只需查表！ - 适合多次查询、范围已知的情况 --- ### ✅ 方法三：米勒-拉宾素性测试（Miller-Rabin）——用于大数快速概率判断 当你要判断的是非常大的数（如 `long` 类型甚至 BigInteger），传统方法太慢，可以使用**概率性算法**：**米勒-拉宾（Miller-Rabin）** ```java import java.math.BigInteger; import java.util.Random; public class MillerRabin { private static final Random rand = new Random(); // 使用 Miller-Rabin 判断大数是否为“可能质数” public static boolean isProbablyPrime(long n, int iterations) { if (n < 2) return false; if (n == 2 || n == 3) return true; if (n % 2 == 0) return false; // 将 n-1 写成 d * 2^r 的形式 long d = n - 1; int r = 0; while (d % 2 == 0) { d /= 2; r++; } // 进行若干轮测试 for (int i = 0; i < iterations; i++) { long a = 2 + rand.nextInt((int)(n - 4)); long x = modPow(a, d, n); // 计算 a^d mod n if (x == 1 || x == n - 1) continue; boolean composite = true; for (int j = 0; j < r - 1; j++) { x = modMul(x, x, n); // x = x^2 mod n if (x == n - 1) { composite = false; break; } } if (composite) return false; } return true; } // 快速幂取模：(base^exp) % mod private static long modPow(long base, long exp, long mod) { long result = 1; base %= mod; while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) result = modMul(result, base, mod); base = modMul(base, base, mod); exp >>= 1; } return result; } // 快速乘取模，防止溢出 private static long modMul(long a, long b, long mod) { long res = 0; a %= mod; while (b > 0) { if (b % 2 == 1) res = (res + a) % mod; a = (a + a) % mod; b >>= 1; } return res; } public static void main(String[] args) { long n = 1000000007L; System.out.println(n + " 是质数吗？" + isProbablyPrime(n, 10)); // true } } ``` #### 🔍 特点： - 时间复杂度：**O(k log³ n)**，k 是测试轮数 - 正确率极高（可调），常用于密码学（如 RSA） - 对于 `long` 类型的大整数非常高效 --- ### 🚀 总结：如何选择最快的方法？ | 场景 | 推荐方法 | 速度 | |------|----------|------| | 判断一个小整数（< 1e6） | 基础优化法 | ⚡️快 | | 多次查询某个范围内数字 | 埃拉托斯特尼筛法 | ⚡️⚡️极快（O(1) 查询） | | 判断大整数（> 1e9）或 long 型 | 米勒-拉宾 | ⚡️⚡️⚡️唯一可行方案 | ---
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