一些好玩的数论

一个有趣的公式

公式

$$\sum_{i=1}^n i^3=(\sum_{i=1}^n i)^2$$

这个公式很好证明， 又很好用。

证明：

$$(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$$

$$n^3=\frac{1}{4}[(n+1)^4-n^4]- \frac{3}{2}n^2-n- \frac{1}{4}$$

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n i^3&=\frac{1}{4}[(n+1)^4-1]-\frac{3}{2}*\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-n-\frac{1}{4}(n+1)\frac{n}{2}\\ &=\frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2)\\ &=(\frac{1}{2}n(n+1))^2\\ &=(\sum_{i=1}^n i)^2\\ \end{align}$$

公式背后

我们可以知道$f_x=x^n$这是一个积性函数。

(*)而定理告诉我们$F_n=\sum_{m|n}f_m$也是一个积性函数。

令$d_n=\sum_{m|n} 1$.

由(*)可知$d_n$是一个积性函数。

$\therefore [d]^3$也是积性函数。

$\therefore \sum_{m|n}(d_m)^3$也是积性函数。

同理$(\sum_{m|n}d_m)^2$也是积性函数。

我们可以发现$\sum_{m|n}(d_m)^3=(\sum_{m|n}d_m)^2$

一个小学就应该知道的东西

整除7

我们知道怎么快速地判断一个数是否是2、3、5、9的倍数，但是7的话，老师一直没有教我们。

我们把需要判断的数按位写下来，然后从低位到高位顺次乘1, 3, 2, 6, 4, 5判断和是否是7的倍数就好了。

例如：1234485 $5*1+8*3+4*2+4*6+3*4+2*5+1*1=84$是7的倍数，所以原数是7的倍数。

证明

$1≡1\pmod{7},10≡3\pmod{7},100≡2\pmod{7}$等等。

整除11

现在讲讲如何判断一个数是11的倍数。

把这个数的第奇数位的和减去第偶数位的和，判断是否是11的倍数。

例如：2728 $8+7-2-2=11$ 所以原数是11的倍数。

证明：

易得$10^{2k+1}≡1\pmod{11},10^{2k}≡-1\pmod{11}$.

一定是质数

这个没什么用，只是好玩。

$f_n=n^2+n+41,n\in \mathbb{N}$,$n$非41的倍数。这一定是个质数。

判断质数

判断质数我喜欢用Miller-Rabin。但是还有其他的方法。

主要是因为Miller-Rabin是个随机性算法。

Wilson定理

正整数$n>1$,则$n$是一个素数当且仅当$(n-1)!≡-1\pmod{n}$。

证明：

充分性
当$p$不是素数，那么令$p=a*b$,其中$1<a<p-1,1<b<p-1$.
(1)$a≠b$

$$\because (p-1)!=1*2*...*a*...*b*...*p-1$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{a}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{b}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{a*b}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{p}$$
与$(p-1)! ≡-1\pmod{p}$矛盾

(2)$a=b$

$$\because (p-1)!=1*2*...*a*...*2a*...*p-1$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{a}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{2a}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{2a^2}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{a^2}$$
$$\therefore(p-1)!≡0\pmod{p}$$
与$(p-1)! ≡-1\pmod{p}$矛盾

因此$p$只能是素数。

必要性：必要性证明和欧拉定理类似。

Fibonacci GCD’s

设$f_i$表示斐波那契数列第$i$项。
$f_1=1,f_2=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2},i>3$
$gcd(f_m,f_n) = f_{gcd(m,n)}$

证明：
(1)$gcd(f_n,f_{n-1})=1$

$$\begin{align} gcd(f_n,f_{n-1})&=gcd(f_n-f_{n-1},f_{n-1})\\ &=gcd(f_{n-2},f_{n-1})\\ &=gcd(f_2,f_1)\\ &=1 \end{align}$$

(2)$f_{m+n}=f_{m-1}f_{n}+f_mf_{n+1}$
若$n=1$,

$$f_{m+1}=f_{m}+f_{m-1}=f_{m-1}f_n+f_mf_{n+1}$$
若$n=2$
$$\begin{align} f_{m+2}&=f_{m-1}+f_{m}+f_{m}\\ &=f_{m}f_3+f_{m-1}f_2\\ &=f_{m-1}f_n+f_mf_{n+1} \end{align}$$
若$n>2,n=k+1$
由$n=k,n=k-1\Rightarrow n=k+1$
$$\begin{align}f_{m+n}&=f_{m+k}+f_{m+k-1}\\ &=f_{m-1}f_k+f_mf_{k+1}+f_{m-1}f_{k-1}+f_mf_{k}\\ &=f_{m-1}f_{k+1}+f_mf_{k+2}\\ &=f_{m-1}f_n+f_mf_{n+1} \end{align}$$

(3)由(2)可得
如果$m|n$，那么$f_m|f_n$.

令$n=qm+r$

$$\begin{align} gcd(f_m,f_n)&=gcd(f_m,f_{qm+r})\\ &=gcd(f_m,f_{qm+1}f_r+f_{qm}f_{r-1})\\ &=gcd(f_m,f_{qm+1}f_r)\\ &=gcd(f_m,f_r) \end{align}$$

又可知$gcd(n,m)=gcd(m,r)$，得证。

两个组合数公式

$$\binom{n+m}{k}=\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}$$
这个其实可以感性理解。
一间课室有$n$个人，另一间有$m$个人，你要选$k$个人出来。
其实就是枚举第一间可是选$i$个人然后组合数一下就好了。

$$\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n$$

一个无聊的证明

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\\ $$

令$a=b=1$
那么

$$\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n$$