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题目大意

给定$n\leq100$个人，每轮随机选取一个人，每个人被选的概率为$p_i(精度为0.01),\sum p_i=1$,游戏结束当且仅当每个人被抓住一次或以上，问，在最优策略下，期望结束轮数是多少，要求答案精度为$10^{-6}$。

解题思路

设$f_{i,j}$表示第$i$轮结束之后，第$j$个人被抓过的概率。

设$g_i$表示第$i$轮结束之后，所有人都被抓过的概率。
显然$g_i=\prod_{j=1}^{n} f_{i,j}$.

$\because Ans=\sum_{i=1}^{+\infty} i*(g_i-g_{i-1})$
$\therefore$最优策略就是，尽量使得$i$较小时，$g_i-g_{i-1}$较大。

先看看$f_{i,j}$和$f_{i-1,j}$的关系。
$1)f_{i,j}=f_{i-1,j}$,第$i$轮不选$j$.
$2)f_{i,j}=f_{i-1,j}+(1-f_{i-1,j})*p_j$,第$i$轮选$j$.

$\therefore g_i=g_{i-1}*f_{i,j}/f_{i-1,j}$
只要求$f_{i,j}/f_{i-1,j}$最大即可，这个可以枚举，或者用数据结构维护。

其实$3*10^5$轮过后答案就不会再有大于$10^{-6}$的误差了。

误差分析

$g_t\geq (1-0.99^{t/100})^{100} \geq1-100·0.99^{t / 100}.$
$\sum_{t=N+1}^{+\infty} 1-g_t\leq100*\sum_{t=N+1}^{+\infty}0.99^{t/100}$.
所以大概$3*10^5$次运算之后答案就精准了。

参考代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 105
#define lim 300000
#define ld long double
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps 1e-15
using namespace std;

ld f[2][maxn];

ld g[2],ans;

ld p[maxn];

int n;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) {
        cin>>p[i];
        p[i]/=100;
    }
    int last=0,now=1;
    fo(i,1,lim) {
        last^=1;
        now^=1;
        ld best=0;
        int w=0;
        fo(j,1,n) {
            ld thi=(1-f[last][j])*p[j]/f[last][j];
            if (thi>best) {
                best=thi;
                w=j;
            }
        }
        fo(j,1,n) {
            if (j==w) {
                f[now][j]=f[last][j]+(1-f[last][j])*p[j];
            }
            else {
                f[now][j]=f[last][j];
            }
        }
        if (f[last][w]<eps) {
            g[now]=1;
            fo(j,1,n) g[now]=g[now]*f[now][j];
        }
        else g[now]=g[last]*f[now][w]/f[last][w];
        ans=ans+(g[now]-g[last])*i;
    }
    double pri=ans;
    printf("%.16lf",pri);
    return 0;
}