文章目录
0. 补充知识
0.1 贝塔函数 B ( P , Q ) \Beta(P, Q) B(P,Q)
贝塔函数也称为欧拉第一积分，定义为：
B ( P , Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x ( P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta(P,Q) = \int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx \quad (P>0,Q>0) \end{aligned} B(P,Q)=∫01xP−1(1−x)Q−1dx(P>0,Q>0)
若将贝塔函数变为不定积分，则有不完全贝塔函数 B x ( P , Q ) \Beta_x(P,Q) Bx(P,Q)
B x ( P , Q ) = ∫ 0 x u P − 1 ( 1 − u ) Q − 1 d u ( 0 ≤ x ≤ 1 , P > 0 , Q > 0 ) \begin{aligned} \Beta_x(P,Q) = \int_0^xu^{P-1}(1-u)^{Q-1}du \quad (0\le x \le 1,P>0,Q>0) \end{aligned} Bx(P,Q)=∫0xuP−1(1−u)Q−1du(0≤x≤1,P>0,Q>0)
0.2 伽马函数 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)
伽马函数也称为欧拉第二积分，定义为：
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t ( x > 0 ) = 2 ∫ 0 + ∞ t 2 x − 1 e − t 2 d t \begin{aligned} \Gamma(x) &= \int_0^{+\infin}t^{x-1}e^{-t}dt \quad (x>0)\\ &= 2\int_0^{+\infin} t^{2x-1}e^{-t^2}dt \end{aligned} Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt(x>0)=2∫0+∞t2x−1e−t2dt</
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