A*m+B*n=D问题的数学推导求解

    

       A*m+B*n=D问题的数学推导求解

流浪狗  2006.3

  正整数m，n，求m与n的最大公约数问题是一个算法入门的题目。但是要求解两个整数A和B，使得A*m+B*n=D，D是m,n的最大公因数。求解最大公约数的问题可以表示如下：

1）            输入正整数m,n

2）            令r=m%n;

3）            判断r是否等于0，如果等于0，则结束

4）            令m=n;  n=r;转到（2）

5）            输出n

  而要求解A*m+B*n=D的问题，令

    a'*m+b'*n=c,

    a*m+b*n=d

在程序运行过程中始终成立，则

1）            输入m,n

2）            令a'=b=1,a=b'=0,c=m,d=n;

3）            令q=c/d;r=c%d;

4）            判断r是否等于0，如果等于0，则结束

5）            交换值，怎样交换？转向（3）

具体怎样交换呢？我们可以通过数学推倒来确定。

已知条件为

  c_k＋1＝d_k,

    d_k＋1＝r_k,

    r_k+1=c_k+1%d_k+1

因为

  a’_k*m+b’_k*n=c_k,

     a_k*m+b_k*n=d_k

所以

  a’_k＋1*m+b’_k＋1*n=c_k＋1＝d_k= a_k*m+b_k*n

由于a’_k＋1，b’_k＋1，a_k，b_k都是整数，故有

a’_k＋1＝a_k;    b’_k＋1=b_k; ……………………………………….(1)

 

又

  a_k＋1*m+b_k＋1*n＝d_k＋1＝r_k= c_k% d_k= c_k-q* d_k

→a_k＋1*m+b_k＋1*n=a’_k*m+b’_k*n-q*( a_k*m+b_k*n)

→a_k＋1*m+b_k＋1*n=( a’_k-q* a_k)*m+( b’_k-q* b_k)

故有

   a_k＋1= a’_k-q* a_k;    b_k＋1= b’_k-q* b_k………………………..(2)

由（1）（2）可以得出第5步的具体算法：

 

   c=d; d=r;
   t=a’;
   a’=a;
   a=t-q*a;
   t=b’;
   b’=b;
   b=t-q*b;