光子晶体中的平面波展开法学习

把平面波展开法当做一个响应器，即有输入和输出，先谈它的输入，输入有：
1.介质柱的相对介电常数

2.背景的相对介电常数

3.填充率（介质柱横截面积比上正格子中二维原胞面积，三角格子光子晶体的原胞是一个菱形，正方格子光子晶体的原胞是一个矩形）

4.圆形介质柱的半径R(但是介质柱可能不是圆形甚至是不规则的形状，这个问题留在后面讨论)，这个半径一般表示为晶格常数a的倍数.
4.1 对于非圆柱形的介质柱，但是又是规则的介质柱，还有一个参数就是它们的旋转角度。
4.2 圆形、正方形杆可以看做是椭圆、矩形杆的特例.

5.还有一个参数和计算过程中运用的平面波的数目有关，我们假定它是n，平面波展开法中平面波的数目越多计算结果就会越精确，但我不确定这是否是绝对的.

开始计算前（这里主要讨论二维光子晶体），晶体在正空间和倒空间的基矢量最好先都求出来。

平面波展开法最终可以输出能带图，透射和反射谱也可以求得，其他一些图也可以求得，但是要涉及其他的技术，前面先不讨论。能带图就是横坐标是倒格子中简约布里渊区的那些特殊的高对称点，比如M和K和一个半个T的字符，然后纵坐标是归一化的角频率。

程序的第一步是计算倒格矢（不是倒格子基矢），它是两个倒格子基矢的组合，组合的系数是整数，两个系数的取值范围都是（-n，n），包括了0，n就是前面说的输入的参数，一个系数有2n+1种取法，两个系数组合起来就有（2n+1）^2种取法，也是G的取法个数，也是用到的平面波的数目（但是这里我不知道为什么是平面波的数目了）。在程序中，G是一个储存了很多倒格矢的变量。
这一步编程实现不算太难。

第二步是计算k空间（倒空间、傅里叶空间）中的相对介电常数，这个介电常数的计算稍微有点复杂，而且它不是单纯计算相对介电常数，对于规则形状的介质柱，我们可以得到它的解析解，对于不规则的形状也有处理办法，但是我目前对于规则和不规则介质柱到底怎么对它傅里叶变换到倒空间里，还是不是太清楚，对这方面的了解也只是开了个小头。
这个第二步也是编程的关键点和难点。也是理解的难点。

第三步是将倒格子空间中的简约布里渊区（我一直搞不懂简约布里渊区和第一布里渊区什么关系，是相等还是不等？）边界离散化，因为我们可以容易计算出那些特殊的高对称点（为什么高对称？），然后离散就根据这些高对称点来就行，所谓的离散就是把简约布里渊区（比如三角晶格的简约布里渊区是一个三角形）沿着边离散成一个个点，取得他们的坐标，其中原点的坐标也是一个特殊点，用一个特殊符号表示。看一些资料上说只要沿着简约布里渊区的边离散，其他的也只是简约布里渊区的重复（为什么？没弄太明白）。这些得到的一系列的点和最后绘制能带图的横坐标有很大关系，因为我们最后得到的能带图那个线其实应该是离散的，（计算机上绘制的所谓连续曲线应该也是那个点取得很密），取能带上一条特定的线，然后数它是由几个连续的点组成的，我们往往会发现这个数字和你取得的离散化简约布里渊区的那个点的数目是一样的。

所以如果想最后绘制的能带图的那个线看起来更像一条连续的线，可以在简约布里渊区的边界上把那个边界离散的更细密一点。

这一步编程也不难实现，因为只不过是将一个几何图形（简约布里渊区）沿着边界离散化，并且知道这些离散化点的坐标。而且这个离散化的点具体到编程中排列是有一定次序的！
这些点相对原点构成的矢量我们称之为k矢量。

第四步就是把前面得到的一些量代到推导出的光子晶体主方程（推导的最开始看懂了，中间没看懂，最后关键的主方程应该也没看太懂，但是大致会用），这里分为TE和TM模式，要分别进行计算，不能混在一起算，但是前面的步骤是完全一样的。不同模式方程不同。最终是算一个矩阵的特征值，这个特征值和最后能带图的纵坐标有关，当然还是要稍微变形一下才是最终的纵坐标。前面提到的k矢量，我们知道它有好多个，对于每一个k矢量，都会计算出一个矩阵，然后这个矩阵特征值又一般有2个及以上，也就是一个k点对应了好多个矩阵特征值，这就是为什么能带图里面有那么多线。其实这个线的条数可以自己设置，最少一条，最多不超过矩阵特征值的数目条数。
这一步的难点就在于中间步骤公式的推导，以及最终得到的主方程的理解和一些符号的认识。编程在这一步也是有一定难度和技巧。

以上就是简单的说明了一下光子晶体中平面波展开法的具体实现思想和编程思路，用到具体理解和编程中其实还是有许多理解上的难点和纯编程上的难点的。

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电介质光子晶体是目前最简单也是理论和实验上研究最广泛的一类光子晶体。一般情况下, 这种光子晶体的周期性介电函数是不随入射电磁波频率而变化的, 所以这里采用频率独立的平面波展开方法。

所谓复式晶格光子晶体，即每一个光子品体原胞包含两个或更多的散射体。
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对于任意形状的介质柱，似乎可以用像素法或三角划分方法来对k空间相对介电常数进行求得。（或者这些方法可以替代超原胞法？）

光子晶体主方程：

未完。。。。。。