14、正态随机变量的实用计算与变换

正态随机变量的实用计算与变换

1. 实用计算

1.1 误差函数（Error Function）

误差函数记为 erf(x)，其定义为：
[erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-u^2} du]
该函数具有以下重要性质：
- (erf(0) = 0)
- (erf(1) = 1)
- (erf(-1) = -1)
- (erf(-x) = -erf(x))

正态分布可以用误差函数表示。通过引入变量 (u = \frac{x - m}{\sqrt{2}\sigma})，可以得到累积分布函数 (F_X(x)) 的表达式：
[F_X(x) = \frac{1}{2}\left[1 + erf\left(\frac{x - m}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]]
基于此，概率 (P{X \leq x_1}) 可表示为：
[P{X \leq x_1} = \frac{1}{2}\left[1 + erf\left(\frac{x_1 - m}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]]
概率 (P{x_1 \leq X \leq x_2}) 为：
[P{x_1 \leq X \leq x_2} = \frac{1}{2}\left[erf\left(\frac{x_2 - m}{\sqrt{2}\sigma}\right) - erf\left(\frac{x_1 - m}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]]
随机变量在区间 ([m - k\si