48、数字平面中的内接正方形与闭包算子研究

数字平面中的内接正方形与闭包算子研究

1. 内接正方形相关研究

在数字拓扑领域，对于简单闭 4 - 曲线内接正方形的研究有着独特的意义。在实平面中，存在着无限多族具有多个内接正方形的约旦曲线，例如圆族；同时，也有无限多族只有一个内接正方形的约旦曲线，像离心率大于零的椭圆。

在数字拓扑里，简单闭 4 - 曲线所包含的内接正方形数量总是有限的。那么，是否存在一些简单闭 4 - 曲线恰好只有一个内接正方形呢？答案是肯定的，有一些具有这种性质的曲线示例。

设 (S = p_1p_2p_3p_4) 是 (\psi Z^2(J)) 中的内接正方形。对于 (S) 为 (hhhh) 或 (hvhv) 类型的情况进行分析。当类型为 (hhhh) 时，在 (J) 中找到的非退化内接正方形是不同的；而当类型为 (hvhv) 时，需要证明找到的两个正方形是不同的。

以下是对 (hvhv) 类型两个正方形不同的证明：
- 设找到的两个正方形的顶点分别为 (p_1’ = (0, 0))，(p_2’ = (a_2, b_2 + 1))，(p_3’ = (a_3 + 1, b_3))，(p_4’ = (a_4, b_4)) 和 (q_1 = (1, 0))，(q_2 = (a_2, b_2))，(q_3 = (a_3, b_3))，(q_4 = (a_4, b_4 + 1))。需要验证 (p_1’p_2’p_3’p_4’) 不是 (q_1q_2q_3q_4) 的四个循环旋转之一。
- 情况 1 ：若 (p_1’p_2’p_3’p_4’ = q_1q_2q_3q_4)，则 ((0, 0) = p_1’ = q_2 = (1, 0))，这