32、二维多区域轮廓重建算法解析

二维多区域轮廓重建算法解析

在二维区域的轮廓重建领域，如何准确地从采样点重建出原始区域的轮廓是一个重要问题。本文将详细介绍一种基于稳定采样的二维多区域轮廓重建算法，包括采样准则、急性三角形条件、细化和合并等关键步骤。

1. 采样准则

在轮廓重建中，合适的采样是关键。常见的采样方法有 $\varepsilon$-采样和 $(p, q)$-采样。这里我们引入一种基于局部区域大小的稳定采样准则。

设 $\partial R$ 是平面分区 $R = {R_i \subset \mathbb{R}^2}$ 的边界，$S \subset \mathbb{R}^2$ 是一个有限点集。若满足以下两个条件，则称 $S$ 是 $\partial R$ 的稳定采样：
- $\forall b \in \partial R : \exists s \in S : ||b - s|| < \frac{1}{2} lrs(b)$
- $\forall s \in S : \exists b \in \partial R : ||b - s|| < \frac{1}{2} lrs(b)$

其中，$lrs(b)$ 表示点 $b$ 处的局部区域大小。边界 $\partial R$ 的 $lrs$-膨胀 $\partial R^{\oplus}$ 定义为以所有 $b \in \partial R$ 为中心，半径为 $\frac{1}{2} lrs(b)$ 的开圆盘的并集。

需要注意的是，当 $\varepsilon \leq \frac{1}{2}$ 时，$\varepsilon$-采样也是稳定采样，但反之不一定成立。同样，对于 $r$-正则集