7、数字直线性对数字凸性的启示

数字直线性对数字凸性的启示

1. 数字直线与相关概念

在数字图像处理领域，数字直线相关的概念是理解数字凸性的基础。首先，数字平面 (Z^2) 上的点根据其相对于数字直线（DSL） (D(a, b, \mu)) 的位置被分为七组，具体如下表所示：
| 位置 | 左侧 | 右侧 |
| — | — | — |
| 强外部 | (ax - by < \mu - 1) | (ax - by > \mu + \max(|a|, |b|)) |
| 弱外部 | (ax - by = \mu - 1) | (ax - by = \mu + \max(|a|, |b|)) |
| 弱内部 | (ax - by = \mu) | (ax - by = \mu + \max(|a|, |b|) - 1) |
| 强内部 | (\mu < ax - by < \mu + \max(|a|, |b|) - 1) |

这里还定义了两个重要的点集：
- 倚靠点（Leaning points） ：DSL 的倚靠点定义为弱内部的点。
- 贝祖点（Bezout points） ：DSL 的贝祖点定义为弱外部的点。

两个连续位于 DSL 左侧或右侧的倚靠点之间的差值是向量 (u = (b, a))。并且，贝祖点与倚靠点密切相关，位于 DSL 左侧或右侧的贝祖点可以通过同侧的倚靠点，利用贝祖恒等式计算得到。此外，当倚靠点在 DSL 左侧或右侧移动一个依赖于 DSL 斜率的向量 (s) 时，会映射到另一侧的贝祖点。在第一卦限中，(s = (0