4、双圆弧区域内整点凸包顶点数量的研究

双圆弧区域内整点凸包顶点数量的研究

1. 引言

在二维空间中，给定一个集合 $S \subseteq R^2$，我们将 $S$ 与整数格点集 $Z^2$ 的交集记为 $SZ = S \cap Z^2$，有时 $SZ$ 也被称为 $S$ 的高斯数字化。本文主要探讨的问题是，当 $S$ 是由两条圆弧所围成的凸区域时，求 $SZ$ 的凸包 $conv(SZ)$ 的顶点数量的边界。

研究这个问题有诸多动机。一方面，它与整数规划的应用相关。例如，对于形如“在 $SZ$ 中找到使线性（或凸）函数 $cx$ 达到最大/最小值的 $x \in Z^n$”的非线性优化问题，有可能将其转化为形如 $max{cx|Ax \leq b}$ 的整数线性规划问题，其中 $A \in Z^{m×n}$，$c \in Z^n$，$b \in Z^m$，$x \in Z^n$。$conv(SZ)$ 的顶点和侧面数量的上下界有助于分析解决上述问题的算法复杂度。另一方面，从实际应用角度来看，在医学成像领域，扫描和 MRI 技术会产生大量的体素数字体积。由于数字医学图像包含大量的点，传统的渲染或纹理算法可能难以获得令人满意的可视化效果，并且在存储和传输这些数据时也会面临困难。因此，我们可以尝试将离散数据集转换为多边形/多面体 $P$，使其侧面数量尽可能少，这就是所谓的最优多面体重建问题。

此外，该问题还与离散几何和多面体组合学中的一些经典问题相关，如点集凸包的性质、圆盘/球内整点数量的估计、曲线和曲面上整点最大可能数量的估计以及某些格点多面体的性质等。特别地，本文的结果与 Balog 和 Bárány 的一个著名结果密切相关，他们证明了当 $S$ 是半径为 $r$ 的圆盘时，$conv(SZ)$ 的顶点数量在 $r$