2、静态凝聚、最优端口/接口缩减与误差估计

静态凝聚、最优端口/接口缩减与误差估计

1. 预备知识

在处理复杂的偏微分方程（PDE）问题时，为了得到更高效的求解方法，我们会进行一系列的处理。首先，我们考虑一个大的有界域 $\Omega_{gl} \subset \mathbb{R}^d$（$d = 2, 3$），其边界为Lipschitz边界，且 $\partial\Omega_{gl} = \Sigma_D \cup \Sigma_N$，其中 $\Sigma_D$ 是Dirichlet边界，$\Sigma_N$ 是Neumann边界。

在这个大域上，我们有一个线性椭圆型PDE，其解为 $u_{gl}$，满足在 $\Sigma_D$ 上 $u_{gl} = g_D$，在 $\Sigma_N$ 上满足齐次Neumann边界条件（非齐次Neumann边界条件的扩展很直接）。

为了计算 $u_{gl}$ 的近似解，我们将大域 $\Omega_{gl}$ 分解为多个不重叠的子域。为了简化表述，我们考虑两个子域 $\Omega_1, \Omega_2 \subset \Omega_{gl}$ 及其并集 $\Omega$（$\overline{\Omega} = \overline{\Omega_1} \cup \overline{\Omega_2}$），同时引入共享接口 $\Gamma_{in} := \overline{\Omega_1} \cap \overline{\Omega_2}$ 和 $\Gamma_{out} := \partial\Omega \setminus \partial\Omega_{gl}$。

在 $\Omega$ 上，我们考虑如下问题：对于给定的 $f$，找到 $u$ 使得