28、LN：分层排队网络分析的元求解器

LN：分层排队网络分析的元求解器

1. 数值分析与积分方法

在排队网络分析中，数值计算的准确性和稳定性至关重要。高斯 - 勒让德（Gauss - Legendre）和高斯 - 拉盖尔（Gauss - Laguerre）求积法是常用的积分近似方法。高斯 - 拉盖尔求积法通过以下近似公式评估指数加权积分：
[
\int_{x = 0}^{\infty} e^{-x}f(x)dx \approx \sum_{k = 1}^{K} w_{k}f(x_{k})
]
其中 (x_{k}) 是拉盖尔多项式 (L_{K}(x)=\sum_{j = 0}^{K}\binom{K}{i}\frac{(-1)^{j}}{j!}x^{j}) 的第 (k) 个根，权重 (w_{k}=x_{k}[(k + 1)^{2}[L_{k + 1}(x_{k})]^{2}]^{-1})。

高斯 - 勒让德方法适用于有限区间 ([a, b])，当 (a = 0) 且 (b) 较大时，可用于评估归一化常数。其主要优点是节点和权重不会像高阶高斯 - 拉盖尔求积法那样出现浮点范围异常。

然而，这些方法会产生小误差。一方面，使用对数求和指数技巧进行数值稳定化时会引入误差；另一方面，高斯 - 勒让德方法要求有限区间，通常截断到 (u\in[0, 10^{6}])，而归一化常数积分定义在 (u\in[0, \infty]) 上。

数值分析表明，对于包含数十或数百个作业的模型，结合高斯 - 勒让德求积法；对于更大的模型，结合 LE 方法，是近似均匀层的有效途径。

2. 计算均匀层中的边际概率

使用归一化常数而非平均价值分析（MVA