25、子空间设计中的计算方法

子空间设计中的计算方法

在子空间设计领域，计算方法起着至关重要的作用。本文将详细介绍子空间设计中的一些关键计算方法，包括等价性判定、大集构造以及多种求解算法。

1. 等价性判定的简化

在某些情况下，研究元素的等价性可以通过简化作用群来降低计算复杂度。当 (G_x = G_{x’}) 时，可使用子群 (N(G_x)) 的作用来研究 (x \sim x’)。而通过特定定理，知道 (G_x) 和 (G_{x’}) 的一个公共西罗子群 (P) 时，作用群 (G) 可被子群 (N_G(P)) 替代。

例如，对于 2-(9, 4, 21)₂ 设计，规定 (N(9, 2)) 会得到许多 (N(9, 2)) - 不变的设计。设 (P) 是 (N(9, 2)) 的一个西罗 - 73 子群，由于 (P) 也是 (GL(9, 2)) 的西罗 - 73 子群，所以它是任何 (N(9, 2)) - 不变设计的全自同构群的西罗 - 73 子群。若两个 (N(9, 2)) - 不变设计 (D_1 = (V, B_1)) 和 (D_2 = (V, B_2)) 同构，则存在 (n \in N_{GL(9,2)}(P)) 使得 (B_1^n = B_2)，但 (N_{GL(9,2)}(P) = N(9, 2)) 且两个设计都是 (N(9, 2)) - 不变的，所以 (D_1) 和 (D_2) 不同构。

对于定理不适用的情况，还有其他理论结果。例如，设 (G \leq GL(v, q))，(\Delta) 是 (G) - 不变的 (t) - ((v, k, \lambda) q) 设计的集合，(P) 是 (G) 的一个西罗 (p) - 子群。在移除 (\Delta) 中所有在满足特定条件