23、子空间设计的计算方法

子空间设计的计算方法

1. 引言

组合设计理论自19世纪中叶起便拥有悠久且辉煌的历史，其应用广泛，相关文献众多。若将组合设计定义中的点集替换为向量空间，基数替换为维数，便可得到子空间设计的定义。

子空间设计，也被称作设计的q - 模拟、有限域上的设计或向量空间中的设计，于20世纪70年代初由Ray - Chaudhuri、Cameron和Delsarte独立提出。直至10年前，仅有少数研究小组偶尔关注该领域，但自Kötter和Kschischang指出其与随机网络编码的联系后，子空间设计受到了更多关注。

在随机网络编码中，人们主要关注特定的子空间设计，即q - 斯坦纳系统，因为它是随机网络编码中最优的恒定维数码。当t = 1且λ = 1时，子空间设计和子空间码更常被称为（部分）铺展，这在有限几何中已被研究数十年。然而，直到1987年才发现t ≥ 2的第一个子空间设计。自20世纪90年代起，人们开始系统地通过计算机搜索子空间设计，并成功构建了一些设计。

2. 预备知识

• 基本定义 ：设V是有限域Fq上的有限维向量空间，维数为v。维数为k的子空间称为k - 子空间，1 - 子空间有时被记为点。集合$ \binom{V}{k}_q $由V的所有k - 子空间组成，称为格拉斯曼流形，其基数由q - 二项式系数确定：
  $ #\binom{V}{k}_q = \binom{v}{k}_q = \frac{(q^v - 1) \cdots (q^{v - k + 1} - 1)}{(q^k - 1) \cdots (q - 1)} $
  若上下文明确，可省略下标q。
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