18、部分展开与向量空间划分研究

部分展开与向量空间划分研究

1. 不同参数下的编码情况分析

在编码理论中，对于不同的参数取值，编码的重量枚举器有着不同的表现。当(k = 9)（即(y = 64)）时，由(A_{16} \geq 0)可推出(A_{\perp}^3 \leq 1)。若(A_{\perp}^3 = 0)，会得到(A_8 = \frac{15}{8})，这显然是不可能的。而当(A_{\perp}^3 = 1)时，编码(C)的重量枚举器为(1 + 2X^8 + 406X^{24} + 103X^{32})，但实际上并不存在这样的编码，因为两个重量为(8)的码字之和会产生一个重量至多为(16)的非零码字，而这样的码字并不存在。

当(k = 8)（即(y = 32)）时，第一个麦克威廉姆斯方程迫使(A_{16} = A_8 = 0)，此时编码(C)的重量枚举器为(1 + 204X^{24} + 51X^{32})。特别地，(C)是一个射影([51, 8])双重量码，且这种编码是唯一的。这一结论可通过观察(PG(3, F_4))中的卵形是一个射影四元([17, 4])双重量码，与二元([3, 2])单纯形码级联可得到射影二元([51, 8])双重量码来证明。

2. 开放研究问题

在研究的结尾部分，收集了一些开放的研究问题，这些问题都可在(qr) - 可分集合的理论框架下进行研究。更具挑战性的问题是，是否能为任意的恒定维数码（而非部分展开或向量空间划分）开发类似的方法。以下是一些具体的研究问题。

2.1 部分展开的更好构造

目前已知超越定理2构造的情况源于(F_8^2)中一个基数为(34)的部分(3) - 展开的特殊例子。这个部分(3) - 展