16、部分展开与向量空间划分中的编码理论研究

部分展开与向量空间划分中的编码理论研究

一、引言

在编码理论和向量空间划分的研究中，确定部分展开（partial spreads）的大小上限是一个关键问题。这不仅有助于理解向量空间的结构，还在通信、密码学等领域有着重要的应用。本文将深入探讨部分展开的相关理论，特别是关于 (q^r) - 可除集和码的性质，以及如何利用这些性质来改进部分展开大小的上限。

二、部分展开的基本结果

2.1 特定参数下的 (A_q(v, 2k; k)) 值

对于不同的整数参数，已经得到了一些关于 (A_q(v, 2k; k)) 的精确值或上下界：
- 当 (m \geq 2) 时：
- (A_2(3m, 6; 3) = \frac{2^{3m - 1}}{7})，(A_2(3m + 1, 6; 3) = \frac{2^{3m + 1} - 9}{7})，(A_2(3m + 2, 6; 3) = \frac{2^{3m + 2} - 18}{7})，对应的亏数分别为 (0)、(1) 和 (2)。
- (A_2(4m, 8; 4) = \frac{2^{4m - 1}}{15})，(A_2(4m + 1, 8; 4) = \frac{2^{4m + 1} - 17}{15})，(A_2(4m + 2, 8; 4) = \frac{2^{4m + 2} - 49}{15})，且 (\frac{2^{4m + 3} - 113}{15} \leq A_2(4m + 3, 8; 4) \leq \frac{2^{4m + 3} - 53}{15})，对应的亏数分别为 (0)、(1)、(3) 和 (3 \leq \sigma \leq 7)。
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