15、部分展开与向量空间划分：理论与构造

部分展开与向量空间划分：理论与构造

在有限几何领域，具有最大可能最小距离的恒定维度码已经被研究了数十年，这类码被称为部分展开（partial spreads）。本文将深入探讨部分展开和向量空间划分的相关理论，介绍经典结果，并阐述如何利用向量空间划分来改进部分展开大小的界限。

1. 基本概念

• 有限域与向量空间 ：设 $F_q$ 是具有 $q$ 个元素的有限域（$q > 1$ 是素数幂），$F_q^v$ 表示 $F_q$ 上维度为 $v \geq 1$ 的标准向量空间，其向量是 $v$ - 元组 $x = (x_1, \ldots, x_v)$，其中 $x_i \in F_q$。$F_q^v$ 的所有子空间的集合，按照包含关系 $\subseteq$ 排序，构成了 $(v - 1)$ 维射影几何，记为 $PG(v - 1, F_q)$。
• 子空间相关术语 ：使用 $k$ - 子空间表示 $F_q^v$ 中 $k$ 维的向量子空间。点、线、面、体、超平面分别对应 1 -、2 -、3 -、4 - 和 $(v - 1)$ - 子空间。

• 高斯二项式系数 ：$F_q$ - 向量空间 $V$ 的所有 $k$ - 子空间的集合记为 $\binom{V}{k}_q$，其基数由高斯二项式系数给出：
  [
  \binom{v}{k}_q :=
  \begin{cases}
  \frac{(q^v - 1)(q^{v - 1} - 1) \cdots (q^{v - k + 1} - 1)}{(q^k - 1