3、秩度量码与恒定维码构造综述

秩度量码与恒定维码构造综述

秩度量码相关内容

1. 秩度量码的重量分布公式
   对于所有 (d \leq i \leq k)，有如下公式：
   [W_i(C ) = \binom{k}{i} q \sum {u = 0}^{i - d(C)} (-1)^u q^{\binom{u}{2}} \binom{i}{u}_q \left( q^{\dim(C) - m(k + u - i)} - 1 \right)]
   通过反证法证明了 (\dim(C) \not\equiv 0 \pmod{m})。假设 (\dim(C) = \alpha m)，应用定理 5 于 (C) 和 (C^{\perp}) 得到 (d(C) \leq k - \alpha + 1)，(d(C^{\perp}) \leq \alpha + 1)。由于 (d(C) + d(C^{\perp}) = k + 1)，根据命题 3 可知这两个不等式要么都是等式，要么都是严格不等式，而这里只能是严格不等式，即 (d(C) \leq k - \alpha)，(d(C^{\perp}) \leq \alpha)，从而 (d(C) + d(C^{\perp}) \leq k)，产生矛盾。
   将 (\dim(C) = \alpha m + \beta)（(1 \leq \beta \leq m - 1)）代入，再次应用定理 5 可得到 (d(C) = k - \left\lfloor\frac{\dim(C)}{m}\right\rfloor + 1)。
2. 秩度量反码