群，环，域，格

离散数学是一门抽象的学科，定义和定理很多，将离散数学抽象归纳其实就是将右脑处理的交给左脑处理。

群

半群，半群是满足结合律的代数系统，结合律的特点是只要求元素之间的运算位置不变，结合律的要求是很宽松的，换句话说，如果一个运算连结合律都不满足，那它，，真的是很烂。满足结合律的规则很多，例如前后不应该有权。举例，a*b=a+3b，显然有权值，后面的权大于前面的权值，（a*b）*c=a+3b+3c，a*（b*c）=a+3（b+3c）。显然不满足结合律。满足结合律的，例如普通的加法和普通的乘法，矩阵的加法和乘法。

幺半群

幺半群是在半群的基础上加单位元。一个运算是否具有单位元也是有特点的，单位元即运算之后不改变元素的值，对于普通加法和普通乘法，如果存在没有单位元的代数系统，一般能通过扩大集合增加单位元。单位元另一个作用是找逆元，逆元相当于给一个元素找女朋友，单位元就是媒人。（媒人是唯一的单身狗，或者说他自己满足自己。）

群

群即是在幺半群的基础上，确保其中每个元素都不是单身狗，都能找到自己的另一半，显然媒人单位元是必不可少的。群一定满足消去律，消去律需要满足的意思抽象就是，如果一个人说他爱两个人，那么他爱的这两个人是同一个人。即ac=ab  （a说他爱b和a说他爱c）         <=>      c=b   （c和b一定是同一个人）。证明通过媒人证明，   同时左乘a逆，ec=eb，c=b。

交换群

交换群，是在群的基础上加了交换律，也叫阿贝尔群，交换律是一个很严格的运算律，换句话说，一个运算如果是可交换的那么我们说他很棒，满足交换律的运算，运算符两边是等价的。前面满足结合律的矩阵乘法在这里就要被淘汰了，他还不够棒，因为他虽然不关心权，但他关心相对顺序，运算符两边的矩阵形式并不一定一样。

到这里群就讲完了。可以总结交换群中设计的性质，交换律，结合律，消去律，逆元，单位元，至于幂等律，这是一个没有多么令人惊艳的性质，对于每个代数系统单独思考也不是什么大问题。所以幂等元也不过多思考。

环

为什么要思考环呢，因为我们已经研究了代数系统中元素与元素的关系，他们总结为四大律，交换，结合，消去，幂等。六大律中另外两个律分配律和吸收律则是用于描述运算和运算的关系。

环

环中应有两个运算，我们一般叫做加法和乘法（不是普通意义的），加法应该满足交换群，乘法满足半群（要求很低，只要你可结合就行，连结合都不行的话真是淤泥扶不上墙，哪凉快哪呆着吧），乘法对加法运算适合分配律。这里引入了一个新的律，叫做分配律，他是描述两个运算之间的关系，其实分配律并不严格，普通意义的乘法对加法即满足分配律，但是要归纳什么样的两个运算满足分配律却并不容易归纳，显见的是乘法要求并不严格。虽然归纳普遍意义的分配律并不容易，但是我们可以给出一些常见的运算之间满足的分配律，比如乘法对加法满足，幂对乘法满足，他们都比另一个运算大一级（仅大一级），但并不是充要条件，比如集合的交并运算虽然没有优先级先后高低，但是也满足分配律。

域

在普通环上加入一些其他东西，慢慢形成我们的域，

1，乘法满足交换律

这一步对乘法也严格了，

2，乘法含有单位元

引入媒人

3，引入零元也叫无零因子环（加上前面两个形成整环）

虽然叫做无零因子，但实际上是引入零元。

为什么我们在加法中不引入零元呢，因为加法中加入零元破坏性太大了（只要运算任何一处有零元，则全为零），而且在普通加法中也没有零元，没有哪个数加了其他任何数还是他本身。而乘法就不一样了，他的确是可以有零元的。

4，乘法可逆（乘法至此也和加法一样严格了，除了零元都有女朋友，媒人单位元还是自己满足自己，呵呵）

虽然乘法至此不是真正意义上的交换群，因为零元没有女朋友，连自己自足都不可以（可怜），但是大概看成一个交换群的概念还是很有助于我们思考的（那个零元就让他独自待会吧）。

至此我们得到了域的定义，加法和乘法都是交换群（乘法除去零元），乘法对加法可分配。可以看到我们平常处理的都是域。再回顾一下我们的六大律，已经思考了五个律了，还差最后一个吸收律没用，别急，格将会解答你这个疑惑。

格

我们不按书本中的顺序引入格的概念，而是一来就从本质出发。格实际上是具有两个运算的特殊的二元运算代数系统，好像很绕，但是你大概把他看成和环和域是一类人就行，

至于他和环和域的区别，在接下来介绍。

首先，格应当满足两个运算满足交换，结合，吸收（新引入），幂等（幂等由吸收推出，证明很简单，这里略去，至此我们六大律都引入完毕了）。关于吸收律，我们常见于逻辑运算中，因而在格中被推出也不足为奇，因为格最终是要推出布尔代数的，吸收律可以理解为一个可以运算废除另一个运算的结果（交可以废除并，并可以废除交）。他们都和最大下界，最小上界有关，最大下界就是交，最小上界就是并（我们并不过多联系两种定义之间的关系，虽然从他们的符号就显而易见（滑稽））。

分配格

由格继续深入，第一个补充的是分配格，分配格顾名思义，就是满足分配律的格（充要条件是不是钻石格或五角格），等一下，如果分配格都满足分配律那和域有什么区别呢？区别就在于域还必须含有零元（仅乘法），单位元。好，看来还有区别。

有界格

可是接下来又引入了有界格的概念，全上界，全下界就是格向域看齐的新成员，你不是有加法和乘法的单位元吗，我也来。全上界，对于求最大下界（∩）的运算来说不就是单位元吗，全下界对于求最小上界（∪）的运算来说不就是单位元吗。（这里不说加法和乘法是因为，两个运算之间可以相互分配，没有优先级高低，但是我们一般把全下界叫做0，全上界叫做1，因而∩即对应域的乘法，∪即对应域的加法（我猜这也是布尔代数中*和+的来历，∩= *，∪= +）。

有补分配格

格到了有界分配格，离域就只差一步之遥了，即逆元，那么格能否达到域这样完美的高度呢？答案就在“有补分配格“中给出，“有补分配格”（因为名字不好听所以加上引号）。有补分配格就是格进化的最高形式，经历千辛万苦的格终于在有补格这里达到了域的高度，甚至超越了域，为什么这么说呢？

答案就在吸收律这里埋下了伏笔，因为格一开始对两个运算就一视同仁，前面我们说，不说加法和乘法就是这个原因，没有哪个运算高于另一个运算，所以一个运算既可以看做加法也可以看做乘法，对方运算的单位元就是自己的零元。因为有补分配格的名字不好听，数学家取了个新名字叫做布尔代数，就是计算机中的0和1的运算。

我们总结一下格的进化史

格->分配格->有界分配格->有补分配格