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（一）现实生活中的信号可以分为两种：周期信号和非周期信号。

 

（二）周期信号：x(t)=x(t+T) 其中T为最小周期。 根据傅立叶变换的定义，只要x(t)满足

     （A）x(t)在任何一个周期内绝对可积。（保证了变换后系数C的存在性，否则C为∞）

     （B）x(t)在任何一个周期内的最值(Max与Min)均是有限的。

     （C）x(t)在任何一个周期内不连续的点为有限个。 那么，x(t)就存在傅立叶级数表示。

即：x(t)可以拆分为一系列的互不相关的正弦周期信号之和。 利用欧拉变换，可以得到另外一种表达形式。 或者，用传统的 傅立叶级数表示形式：（T=2l）。 从上式中可以看到，组成该周期函数的这些互不相关的正弦函数之间，频率是离散的，为2l/n.。 最后，我们可以作出这样的总结，工程中所遇到的周期信号一般均可以分解为一系列频率离散的互不 相关的正弦周期信号之和。

 

（三）非周期信号：（可以看成T=∞的周期信号） 扩充周期函数的傅立叶级数变换，可以得出： 非周期信号可分解为一系列频率相隔2l/T的互不相关的正弦周期信号之和。因为T=∞，所以2l/T趋近于 0，即：非周期信号是由频域连续的互不相关的正弦周期信号组成的.通过傅立叶变换 可以看出频率f=w/2π是覆盖-∞到+∞的。

 

（四）离散信号 目前几乎所有的信号都是交由计算机进行处理和计算的。而在计算机领域，我们只能和离散的数字打交 道。所以需要先对模拟信号进行数字化处理，转换为数字信号，这其中采用的手段就是采样.利用周期T对模拟 信号x(t)进行采样后，得到数字信号x[nT]。为了能够在计算机中对信号进行傅 叶变换，引进了离散信号的傅立 叶变换形式。，设Ω=wT，有 可以看出上式为周期函数，周 期为2π。 我们知道一个Time-limited的信号不可能是Band-limited的，即工程中的信号都是unband-limited的信号。 而采样系统实际上就是一个低通滤波系统，高于f/2频率的高频信号都会被滤掉，所以采样得到的数字信号都是 残缺的，不完整的，故也是无法完整复原的。这也是为什么采样定理要求采样频率必须大于模拟信号最大频率2 倍的道理。由采样定理可以得到，T<=π/w，故Ω=wT<=π，所以我们只专注0~π的部分。

 

（五）离散傅立叶 时域模拟信号x(t)离散化得到x[nT]，x[n+T]的傅立叶变换仍然为一连续的函数，要想 计算机在频域上进 行处理，需要对傅立叶变换进行离散化。 假设x[nT]是length-limited的，length为N。则：－－（1），而此时，有 －－（2）。可见（1）式成功地对（2）进行了离散。采样的周期为 2kπ/N。

 

 

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