11. 微积分 - 偏导数&方向导数

最新推荐文章于 2025-12-03 20:31:34 发布
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分类专栏： 茶桁的AI秘籍 - 数学篇 文章标签： 人工智能 数学
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ivandoo/article/details/132644155
本文介绍了偏导数和方向导数的概念，偏导数是针对多元函数中每个自变量的导数，求解过程与一元函数导数相同。在多元函数的实际情况中，特别是在人工智能领域，偏导数对于理解和处理复杂的多元函数关系至关重要。方向导数则允许沿着任意方向求导，不仅限于自变量方向，与偏导数不同的是，方向导数考虑了函数变化与移动方向的关系。文章还讨论了方向余弦和投影的概念，这些都在方向导数的计算中起到关键作用。

茶桁的AI秘籍 Math - 11

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Hi, 大家好。我是茶桁。

我们上节课学习了链式法则，本节课，我们要学习「偏导数」和「方向导数」。

偏导数

偏导数在导论课里面也提到过。偏导数针对多元函数去讲的。

多元函数是什么，我们拿个例子来看：
多元函数： y = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \begin{align*} 多元函数：y = f(x_1,x_2,...,x_n) \end{align*} 多元函数：

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【微积分】导数，偏导数，方向导数与梯度
北境の守望者
08-04 4579
导数（derivative） 偏导数（partial derivative） 方向导数 （directional derivative） 梯度 （gradient） Ref 导数（derivative） 导数，是我们最早接触的一元函数中定义的，可以在 xy 平面直角坐标系中方便的观察。当 Δx→0Δx→0\Delta x \to 0 时，P0P0P_0 处的导数就是该点...
数学基础0-全导数、方向导数、偏导数、梯度
m0_61878383的博客
10-09 3141
导数（derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数的自变量在一点上产生一个增量ℎ时，函数输出值的增量与自变量增量ℎ的比值在ℎ趋于0时的极限如果存在，即为在处的导数，记作或。对于多元函数，过函数图像（以二元f(x,y)为例）上任意一点A可以作出无数条曲线。全导数：每条曲线都有自己过A点的导数，也就是过A点做该曲线的切线。
微积分 --- 偏导数，方向导数与梯度(二)
松下J27录放机
05-06 1658
本文为“微积分 --- 偏导数，方向导数与梯度”系列的第二篇文章，简单了介绍了方向导数与梯度的概念。
微积分 --- 偏导数，方向导数与梯度(一)
松下J27录放机
05-06 1128
之前在学习梯度下降法时，始终不明白为什么说梯度的方向一定是函数增长最快的方向，故而有了这些关于偏导，方向导数和梯度的学习笔记。
【微积分知识】 导数，偏导数，方向导数，梯度
lijf2001的博客
08-14 1255
导数 导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。 摘自百度百科 这个概念非常简单，高中数学中也有提到，因此也不再赘述。 偏导数 导数是一元函数的变化率，那么对于二元函数，甚至多元函数，是否有办法来衡量它的变化率呢？ 于是偏导数就出现了，它将多元函数中的一个元看作变量，其余
【RL数学基础】微积分的基本概念：导数、偏导数、方向导数、梯度
计算机科研杂货铺
07-05 2955
导数定义： 反应的是函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在某一点处沿着自变量 xxx 的正方向（即: xxx 轴正方向）的变化率。导数公式：函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0​ 点的导数记作f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)，则 f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)为： f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf' (x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\D
微积分的挑战：偏导数与方向导数
AI天才研究院
12-31 1141
1.背景介绍 微积分是数学的一个重要分支，它研究了连续性、不断变化的现象。在现实生活中，我们经常会遇到连续变化的现象，如温度的变化、速度的变化等。微积分提供了一种数学工具，帮助我们理解和分析这些变化。 偏导数和方向导数是微积分中的两个重要概念，它们在多变量函数的梯度优化、多变量最小化最大化等方面具有广泛的应用。在本文中，我们将深入探讨偏导数与方向导数的定义、性质、计算方法以及应用。 2.核心...
导数，偏导数，方向导数，梯度的理解---微积分数学基础
weixin_44681349的博客
04-19 1577
1. 导数的概念 那这里就产生了一个疑问：为什么使用梯度下降法求解？为什么使用梯度下降法，就能够得到最优解(全局或者局部)？ 下边我们将从导数，偏导数，方向导数最后引出梯度，进而讲解为什么梯度下降法能够做到求解最优解。 1.1 导数的定义 增量定义： f(x)在点xxx0 的某个邻域内有定义，则当自变量 xxx 在 xxx0处取得增量Δx （点xxx0 + Δx 仍然在邻域内），相应的y取得增量 Δy=f(xxx0+Δx)−f(xxx0)，如果Δ y与Δ x 在Δx → 0 时极限存在，则称 y=f(x)在
深度学习基础 - 偏导数、方向导数、梯度
二分掌柜的
03-14 2791
深度学习的基础 - 梯度 flyfish 柯西将极限的定义引入了微积分，很创新。因为微积分的创造者们没有把一件事说明白，他用新的概念把这件事说明白了。问题变了，思维方式就变了，之前的人的问题是什么什么是多少，他的问题是如何定义“什么什么”的问题。他定义的框架把微积分的严谨度向前迈了一大步，所以问什么样的问题最重要。微积分的现代体系就是他建的。 数学有些地方又是借鉴物理知识，可以在后面的深度学习部分看到。从............
多元微积分（一）--导数与偏导数
zhy100102的博客
01-27 8327
大家学习多元微积分，遇到的第一个难点想必就是偏导数，别问俺怎么知道的。算了，告诉你们吧，俺当时也不会（小声）。但是，现在会了，就来告诉大家这个偏导数究竟是什么东东。 1、导数 首先，偏导数，人家毕竟带着“导数”二字，想必和导数脱不了干系。事实还真就是脱不了干系。那么，啥是个导数？ 如图所示，这是函数的图像，我们观察这个点，函数图像在这个点的坐标为，我们想像在这个点，x增大了一个很小的值，比如x变成了5.00001，这个时候y肯定也变化了，我们计算一...
Python----微积分（微积分基础：导数，不可微函数，偏导数，泰勒公式）
weixin_64110589的博客
03-10 1400
微积分是研究变化率和总量积累的重要数学分支。其基础概念包括导数，用于描述函数在某一点的变化率；不可微函数，指在某些点上导数不存在的函数；偏导数，用于多变量函数的情况，表示对某一变量的变化率；以及泰勒公式，它将函数在某一点附近展开成级数，方便进行逼近和分析。这些概念是理解更复杂数学问题的基石，对科学和工程应用至关重要。
高数 | 【概念剖析】多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系
"You are worthy! You can do it!"
04-03 7840
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。 一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念 导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度
【模式识别与机器学习（8）】主要算法与技术（下篇：高级模型与集成方法）之 元学习与集成方法：组合多个学习器来提高整体性能
hiliang521的博客
12-02 802
【模式识别与机器学习（8）】主要算法与技术（下篇：高级模型与集成方法）之 元学习
TensorRT笔记（5）：研究timingCache
ouliten的博客
12-02 940
在里出现了大量的timingCache，但是当时没有取研究这是干啥的，本文就来解析一下。样例都基于上面的文章。
大模型应用：大模型 MapReduce 全解析：核心概念、中文语料示例实现.12
minhuan的专栏
12-03 1066
本文介绍了MapReduce编程模型及其在大模型训练中的应用。MapReduce通过"分治-并行-聚合"思想处理大规模数据，传统Hadoop MapReduce侧重结构化数据计算，而大模型MapReduce则针对自然语言处理任务。文章详细对比了两者在架构、处理对象和核心算力等方面的差异，并提供了中文词频统计的Python实现示例，包括单机版和分布式版本。分布式实现利用多进程模拟集群计算，展示了数据分片、Map、Shuffle和Reduce的完整流程。
07_Spring AI 干货笔记之提示词
在科技的浪潮中，我们寻找着创新的火种，在代码的海洋里，我们编织着智慧的网。腾飞开源，就是这样一个由技术精英汇聚而成的博客平台，我们致力于分享在Java、Python、IoT和人工智能等领域的最新研究成果和实战经验。 在腾飞开源的博客上，你会看到紧跟技术前
11-30 1863
本文详细介绍了Spring AI中的提示词核心概念与API设计。提示词作为引导AI模型生成特定输出的关键输入，其结构从简单字符串演进为包含多角色消息的复杂形式。Spring AI通过Prompt和Message接口提供结构化提示词管理，支持系统、用户、助手等角色分配。PromptTemplate类实现动态内容渲染，并支持自定义模板引擎。文章还涵盖提示词工程的最佳实践与令牌机制，为开发者提供完整的提示词设计解决方案。
LMM-Det：让大型多模态模型在目标检测中脱颖而出
AI浩
12-01 1315
大型多模态模型因其在多模态理解、推理和上下文学习等方面的卓越能力，在人工智能研究和工业界引起了广泛的关注和兴趣。虽然 LMM 在图像描述、视觉问答和视觉定位等多模态任务上已展现出有前景的结果，但其目标检测能力与专业检测器相比仍存在显著差距。为弥补这一差距，我们摒弃了将重型检测器与 LMM 集成的传统方法，提出了 LMM-Det，这是一种简单而有效的方法，它利用大型多模态模型进行纯目标检测，而无需依赖专门的检测模块。
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2025年IT行业面临AI深度重构：基础开发、测试、运维岗位替代率超60%，但AI相关新兴岗位激增380%。人类在复杂系统设计、伦理决策和跨界融合领域仍具不可替代性。微软等企业实践显示，人机协作可使效率提升40%。从业者需转型高价值领域（如Agent开发、大模型工程），掌握"技术+领域"双轨能力。AI本质是职业生态重构器，持续学习者的薪资溢价可达150%。建议立即评估岗位AI暴露指数，优先学习分布式架构优化、多智能体开发等技能。
偏导数 方向导数 微分
05-14
偏导数、方向导数和微分都是微积分中的概念，它们的意义和计算方法略有不同。 偏导数是指在多元函数中，对其中一个自变量求导时，将其他自变量看作常量而得到的导数。例如，对于二元函数 $f(x,y)$，其对 $x$ 的偏导...
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