求最长连续公共子序列和最长连续子字符串

问题的关键是如何定义子问题。

假设有：

Xm = x1 x2 x3 ... xm

Yn = y1 y2 y3 ... yn

1. 最长公共子序列(不必连续)

定义f(m, n)为Xm和Yn之间最长的子序列的长度

于是有f(m, 0) = f(0, m) = 0

如果xm != yn, 则f(m, n) = max{ f(m-1, n), f(m, n-1) }

如果xm = yn，则f(m, n) = f(m-1, n-1) + 1

问题归结于求f(m, n)。依照公式用Bottom-up Dynamic Programming可解

2. 最长子字符串(必须是连续的)

定义f(m, n)为Xm和Yn之间最长的子字符串的长度并且该子字符串结束于Xm & Yn。因为要求是连续的，所以定义f的时候多了一个要求字符串结束于Xm & Yn

于是有f(m, 0) = f(0, m) = 0

如果xm != yn, 则f(m, n) = 0

如果xm = yn, 则f(m, n) = f(m-1, n-1) + 1

因为最长字符串不一定结束于Xm / Yn末尾，所以这里必须求得所有可能的f(p, q) | 0 > p > m, 0 > q > n, 最大的f(p, q)就是解。依照公式用Bottom-up Dynamic Programming可解