详解最长公共子序列问题（三种方法）

这里，为了更方便地解释，我以洛谷上的一道典型题目为例，为大家讲解处理最长公共子序列问题的几种常见方法。这道题目中规定了两个子序列的长度相等，如果遇到不等的情况，也只需要对长度稍作修改即可，算法思想不变。

题目描述

给出 1，2，…… ，n 的两个排列 A 和 B ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 n。

接下来两行，每行为 n 个数，为自然数 1，2，…… ，n 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

样例输入 
5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

样例输出 
3

提示

- 对于 50% 的数据， n <= 10^3；
- 对于 100% 的数据， n <= 10^5。

方法1：常规动态规划

要解决这道题目，必然要使用动态规划。既然要用到动态规划，就要知道状态转移方程。我们令L[i][j] 表示序列 A 和序列 B 的最长公共子序列的长度，则状态转移方程如下：

若a[i]b[j]， 则 L[i][j]L[i-1][j-1] +1

若a[i]b[j]， 则 L[i][j]max (L[i][j-1]，L[i-1][j]）

以表格的形式表示整个过程如下：（这里以 3 2 1 4 5 和1 2 3 4 5为例）

i\j

0

3