堆(Heap)

堆

概念：

堆通常是一个可以被看作一棵树的数组对象，一个堆是一个几乎完全的二叉树，将根节点最大的堆叫做最大堆，根节点最小的堆叫做最小堆。

堆总是有以下性质：

1.堆中某个节点的值总是不大于（最大堆）或不小于（最小堆）其父节点的值；

2.堆总是一棵完全树。

由以上的定义就可以得知，堆顶元素必为序列中n个元素的最小值或者最大值。

 

算法思想：

不必将值一个个地插入堆中，而是通过对比交换形成堆。

假设：以最大堆为例，根的左右子树都已是堆，他们的根结点设为R，那么R与左右儿子的值有两种情况：

1.R同时大于或者等于左右儿子，这时候符合堆的特性，所以这时候堆已完成；

2.R可能小于某一个儿子，或者同时大于左右儿子，那么则R应该与左右儿子中较大的一个进行交换，再用同样的方法进行对比交换，直到满足第一个条件，R同时大于或者等于左右儿子为止。

 

堆的调整：

一.输出堆顶元素后调整剩余元素为一个新堆：

   1.输出堆顶元素并以最后一个元素代替；

   2.比较左右儿子值的大小；

   3.对比后交换；

   4.重复步骤直到满足形成新堆的要求为止。

二.加入元素时向上调整：

   1.先将堆的总共元素+1；

   2.然后将R添加到堆的尾部；

   3.根据需要，将R上移，直到满足新堆特性为止。

三.删除元素时向下调整：

   1.先将堆的总共元素-1；

   2.用堆底元素替代；

   3.根据需要，将R下移，直到满足新堆特性为止。

 

建堆：

给出一个有n个元素的数组，创建一个堆，可以这样进行：

1.从空的堆开始，不断插入一个元素，直到完全转化为堆为止，这种方法创建堆的时间复杂度是O(n logn)。

2.自底向上创建堆：

   把一棵n个节点的几乎完全的二叉树转化成堆，从最后一个节点开始到根节点，逐个扫描所有的节点，根据需要，每一次将以当前节点为根节点的子树转化成堆；这种方法创建堆的时间复杂度是O(n)。

 

堆排序（Heapsort）：

    由于堆中的各项最大值存储在堆顶元素中，所以每次将A[1]（堆顶元素）与A[N]（堆底元素）交换，使A[N]成为最大值，最后通过对比交换，形成一个新堆A[1……N-1]。交换元素和调整堆的元素一直重复，知道堆的大小变成1为止。这种方法的时间复杂度为O(n logn)。而如果对n个元素的数组排序，用线性搜索选择排序或者冒泡排序的话，时间复杂度需要O(n^2)时间。

相关资料：

http://www.cnblogs.com/Jason-Damon/archive/2012/04/18/2454649.html