3种方法求解斐波那契数列

题目：定义Fibonacci数列如下：

分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：

#include<iostream>
 #include<string>
 using namespace std;
 
 long Fibonacci(unsigned int n)
 {
     if(n == 0)
         return 0;
     else if(n == 1)
         return 1;
     else
         return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
 }
 
 int main()
 {
     cout<<"Enter An N:"<<endl;
     unsigned int number=0;
     cin>>number;
     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
     return 0;
 }

然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：

从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。

分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：

#include<iostream>
 #include<string>
 using namespace std;
 
 long Fibonacci(unsigned int n)
 {
     if(n == 0)
         return 0;
     if(n == 1)
         return 1;
     long firstItem = 0;
     long secondItem = 1;
     long fib = 0;
     unsigned int cnt = 1;
     while(cnt < n)
     {
         fib = firstItem + secondItem;
         firstItem = secondItem;
         secondItem = fib;
         ++cnt;
     }
     return fib;
 }
 
 int main()
 {
     cout<<"Enter A Number:"<<endl;
     unsigned int number;
     cin>>number;
     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
     return 0;
 }

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：

我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时

Step2：设n=k时，公式成立，则有：

等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：

左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。

实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

#include<iostream>
 #include<string>
 using namespace std;
 
 //定义2×2矩阵；
 struct Matrix2by2
 {
     //构造函数
     Matrix2by2
     (
         long m_00,
         long m_01,
         long m_10,
         long m_11
     )
     :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)
     {
     }
 
     //数据成员
     long m00;
     long m01;
     long m10;
     long m11;
 };
 
 //定义2×2矩阵的乘法运算
 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)
 {
     Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);
     matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;
     matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;
     matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;
     matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;
     return matrix12;
 
 }
 
 
 //定义2×2矩阵的幂运算
 Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)
 {
     Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);
     if(n == 1)
     {
         matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);
     }
     else if(n % 2 == 0)
     {
         matrix = MatrixPower(n / 2);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
     }
     else if(n % 2 == 1)
     {
         matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));
     }
     return matrix;
 }
 //计算Fibnacci的第n项
 long Fibonacci(unsigned int n)
 {
     if(n == 0)
         return 0;
     if(n == 1)
         return 1;
 
     Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);
     return fibMatrix.m00;
     
 }
 
 int main()
 {
     cout<<"Enter A Number:"<<endl;
     unsigned int number;
     cin>>number;
     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
     return 0;
 }