堆排序

       最近几次笔试总碰到堆排序，恰好这种排序是自己没学过的，所以看了一下堆排序，才知道堆排序其实是一种比较快的排序算法，自己整理了一下写出来，加深自己的印象。

 

堆排序     

 

      堆的定义：把待排序序列看成一棵完全二叉树，当满足以下条件的一个时，称为堆：

 

                        ki ≤ k2i 且 ki ≤ k2i+1 （小顶堆）   或者     

                       ki ≥ k2i 且 ki ≥ k2i+1 （大顶堆）    其中i=1,2,3...n/2

           在一棵完全二叉树中，每个父节点跟其左右孩子之间的序号关系是i和2i、2i+1的关系，所以

      在满足了堆条件后，堆的最顶部的节点对应的值就是最小值或最大值。

 

      堆排序过程：首先将初始序列建成堆，则堆顶元素就是最大或最小的值，然后继续对剩下的n-1个序列建堆，得到次大或次小元素，以此类推下去，知道执行n-1次后便完成堆排序。

 

      完成堆排序要解决两个问题：

      1、如何将n个元素的序列建成堆（初始堆）

      2、如何将剩下的n-1个元素调整为一个新堆（因为初始堆的堆顶元素被互换之后，堆被打乱了，需要调整。

 

      初始堆：对n个结点的完全二叉树，可以认为：以叶子为根的子树（只有它自己）已满足堆特性 因此从最后一个分支结点开始，把每棵子树调整为堆，直到根结点为止，整棵树成为堆。最后一个分支节点是第n/2个。

 

      调整堆：

 

         假设有一个大根堆，当输出堆顶元素（根结点）后，以堆中最后一个元素替代它。此时根结点的

      左子树和右子树均为堆，则只需自上而下进行调整即可。

         首先将堆顶元素与其左、右子树根结点的值进行比较，如果堆顶元素比它的两个子结点都大，则

      已经是堆；否则，让堆顶元素与其中较大的孩子结点交换，先让堆顶满足堆的性质。可能因为交换，

      使交换后的结点为根的子树不再满足堆的性质，则重复向下调整，当调整使新的更小子树依旧满足堆

      的性质时，重新建堆的过程结束。

 

  Java实现代码：

      

public class HeapSort {
  public static void main(String[] args) {
        int num[] = new int[] { 0, 5, 40, 32, 2, 2221 };
        heapsort(num, 5);
        for (int x = 0; x < num.length - 1; x++) {
              System.out.print(num[x + 1] + " ");
       }
 }

//调整堆
 public static void adjustHeap(int[] num, int s, int t) {

       int i = s;
       int x = num[s];
       for (int j = 2 * i; j <= t; j = 2 * j) {
           if (j < t && num[j] < num[j + 1])
           j = j + 1;// 找出较大者把较大者给num[i]
           if (x > num[j])
               break;
           num[i] = num[j];
           i = j;

      }
    
       num[i] = x;

 }

 
//主函数
 public static void heapsort(int[] num, int n) {
  // 初始建堆从n/2开始向根调整

      int i;
      for (i = n / 2; i >= 1; i--) {

           adjustHeap(num, i, n);//初始堆过程
      }

      for (i = n; i > 1; i--) {
           num[0] = num[i];// 将堆顶元素与第n,n-1,.....2个元素相交换
           num[i] = num[1];
           num[1] = num[0];// 从num[1]到num[i-1]调整成新堆
           adjustHeap(num, 1, i - 1);

     }

 }

}

 

 

 

   它的时间复杂度:

   堆是一个完全二叉树,设树高为k=log2n+1,从根到叶的调整,关键码比较的次数为2(k-1)，交换的次数至多为

   k次。所以比较的次数不超过：

                            2*(log2(n-1)+log2(n-2)+....+log22)<2nlog2n

   而比较的次数不超过4n.所以堆排序的时间复杂度为O(nlogn).