台阶问题

本文探讨了一个经典的数学问题:一个人上台阶,每次可以上一个或两个台阶,求上n层台阶的不同走法数量。文章揭示了这个问题与斐波那契数列之间的联系,并提供了解决该问题的递归方法。
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描述:一个人上台阶,可以一次上一个或者两个,问上n层台阶,有多少种走法?

本题可以采用递归的方法来设计模型,先从数字的规律入手:

1 {1}

2 {1 1} {2}

3 {1 1 1} { 1 2 } {2 1 }

4 {1 1 1 1} {1 1 2} {1 2 1}{ 2 1 1}{2 2}

。。。。。。。。。。。。。。。


n F(n)

n+1 F(n+1)

n+2 F(n)+ F(n+1)



此处应该比较清楚了~~~为Fibonacci数列~~具体解法不在多说

参考:程序员面试宝典

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### 动态规划在台阶问题中的应用 动态规划是一种通过分解子问题来解决复杂问题的方法[^1]。台阶问题通常可以通过动态规划的思想进行求解,其核心在于将问题分解为更小的子问题,并通过递推关系找到最终解。 #### 问题描述 台阶问题通常可以描述为:给定一个有 `n` 台阶的楼梯,每次可以选择走 1 或 2 台阶,问有多少种不同的方式可以走到第 `n` 台阶。 #### 解题思路 为了计算到达第 `n` 台阶的不同方式,可以定义一个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示到达第 `i` 台阶的不同方法数。根据题目条件,可以得出以下递推关系: - 如果从第 `i-1` 台阶1 步到达第 `i` 台阶,则有 `dp[i-1]` 种方法。 - 如果从第 `i-2` 台阶走 2 步到达第 `i` 台阶,则有 `dp[i-2]` 种方法。 因此,递推公式为: ```plaintext dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ``` 边界条件为: - 当 `n=0` 或 `n=1` 时,只有一种方法到达目标台阶,即 `dp[0] = 1` 和 `dp[1] = 1`。 #### 实现代码 以下是基于动态规划思想的 Python 实现代码: ```python def climb_stairs(n): if n == 0 or n == 1: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0], dp[1] = 1, 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] return dp[n] # 示例调用 n = 5 print(f"共有 {climb_stairs(n)} 种方法到达第 {n} 台阶") ``` 上述代码中,`dp` 数组用于存储到达每一台阶的方法数,最终返回 `dp[n]` 即为到达第 `n` 台阶的所有可能方法数。 #### 优化空间复杂度 由于递推公式仅依赖于前两个状态,因此可以通过两个变量代替整个数组,从而将空间复杂度降低到 O(1)。 ```python def climb_stairs_optimized(n): if n == 0 or n == 1: return 1 prev1, prev2 = 1, 1 for i in range(2, n + 1): current = prev1 + prev2 prev2 = prev1 prev1 = current return prev1 # 示例调用 n = 5 print(f"共有 {climb_stairs_optimized(n)} 种方法到达第 {n} 台阶") ``` #### 总结 通过动态规划的方法,台阶问题可以被高效地解决。这种方法不仅适用于简单的台阶问题,还可以扩展到更多复杂的场景,例如允许每次走多步台阶或增加额外约束条件[^1]。
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