爬楼梯

有n级台阶,一个人每次上一级或者两级,问有多少种走完n级台阶的方法。为了防止溢出,请将结果Mod 1000000007

给定一个正整数int n,请返回一个数,代表上楼的方式数。保证n小于等于100000。

测试样例:
1
返回:1

class GoUpstairs {
public:
    int countWays(int n) {   // 动态规划
        if (n < 3)     return n;
        vector<int> dp(n+1, -1);//包括0 
        dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++)//从3开始
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007;
        return dp[n];
    }
/*    int countWays(int n) {// 暴力搜索法
        int hash[100001];//因为最大值为100000
        hash[0] = 0;
        hash[1] = 1;
        hash[2] = 2;
        for (int i = 3; i <=n; i++)
        {
           hash[i] =(hash[i - 1] + hash[i - 2])%1000000007;
        }
        return hash[n];
    }
*/
};


### 动态规划实现爬楼梯问题 爬楼梯问题的核心思想是动态规划,其本质与斐波那契数列密切相关。对于给定的 `n` 阶台阶,每次可以爬 1 阶或 2 阶,最终到达楼顶的不同方法数等于前一步骤的解之和。 #### 方法一:使用数组存储中间结果 此方法通过数组来保存每一步的结果,时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; // 爬到第1阶有1种方法 dp[2] = 2; // 爬到第2阶有2种方法 for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 当前阶的方法数等于前两阶之和 } return dp[n]; } } ``` #### 方法二:优化空间复杂度 为了减少空间占用,可以仅使用两个变量记录前两步的结果,从而将空间复杂度优化至 $O(1)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int prev = 1, curr = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { int temp = curr; curr = prev + curr; // 计算当前阶的方法数 prev = temp; // 更新前一个值 } return curr; } } ``` #### 方法三:公式法(基于斐波那契数列) 利用斐波那契数列的通项公式,直接计算出结果,时间复杂度为 $O(1)$,但需要注意精度问题。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt5 = Math.sqrt(5); double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1); // 使用斐波那契公式 return (int) ((fibN - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5); } } ``` 以上代码实现了不同的解决方案,包括动态规划、空间优化以及数学公式法[^2]。 --- ### 相关问题
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