编辑距离edit distance

定义

编辑距离是字符串之间的一种距离度量，也称为Levenshtein距离；这种距离的含义是：通过最少的操作把一个字符串变换成另外一个字符串。 一次操作包括：删除、插入和替换一个字符。
编辑距离越小，代表越相似。

例子

将kitten转换成sitting的步骤：
1. kitten->sitten(替换k->s）
2. sitten->sittin(替换e->i)
3. sittin->sitting(插入g）
编辑距离为3.

问题定义

编辑距离的定义（最小的操作次数）。
假设设为字符串$a,b$, 那么我们设

$$lev(i,j)$$
代表 $a[0,i]$和 $b[0,j]$之间的编辑距离；那么我们的目标则是求：
$lev(m,n)$， 其中： $m=|a|, n=|b|$

问题求解

$$lev(i,j)= \begin{cases} i, & \mbox{if }j==0 \\ j, & \mbox{if } i==0 \\ min \begin{cases} lev(i-1,j)+1 & \\ lev(i,j-1)+1, & \\ lev(i-1,j-1)+1, & \mbox{if } (a_i!=b_j) \\ \end{cases} \tag{迭代公式} \end{cases}$$
有了这个迭代公式，问题的求解则迎刃而解。

迭代公式或者更新公式，则是大多数数值问题的求解思路，比如随机梯度下降的W更新公式等。

代码实现

    private static int min(int... is) {
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i : is) {
            if (min > i) {
                min = i;
            }
        }
        return min;
    }

     public int minDistance(String str1, String str2) {
            int len1 = str1.length();
            int len2 = str2.length();

            //初始化
            int[][] lev = new int[len1 + 1][len2 + 1];
            for (int i = 0; i <= len1; i++) {
                lev[i][0] = i;
            }
            for (int j = 0; j <= len2; j++) {
                lev[0][j] = j;
            }

            int temp;
            for (int i = 1; i <= len1; i++) {
                for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                    if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) {
                        temp = 0;
                    } else {
                        temp = 1;
                    }
                    lev[i][j] = min(lev[i - 1][j - 1] + temp, //替换代价
                            lev[i][j - 1] + 1,
                            lev[i - 1][j] + 1);
                }
            }
            return lev[len1][len2];
        }

leetcode的例子：https://leetcode.com/problems/edit-distance/description/

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance