最小二乘法

最小二乘法的思想

最小二乘法则是一种统计学习优化技术，它的目标是最小化误差平方之和来作为目标，从而找到最优模型，这个模型可以拟合（fit）观察数据。
回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以用著名的最小二乘法来解决。最小二乘法就是曲线拟合的一种解决方法。
最小二乘法的问题分为两类：

• 线性最小二乘法
• 非线性最小二乘法

如果是线性的则有闭式解(closed-form solution)，唯一解。理解为所有点都在某条线上，全拟合好了。
非线性的经常需要数值方法来求解。比如：随机梯度下降或者牛顿法等。当然，随机梯度下降也可以解决线性问题。

目标公式

$$J(\theta )=\sum _{i=1}^m(f_{\theta }(x_i)-y_i{)}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
最小二乘法的目标就是最小化公式1。f则是模型（取自假设空间），y则是观察值。
通俗来讲，就是观察值和拟合值(模型给出）之间的距离平方和最小化作为目标来优化。

求解方法

矩阵求导方法

思想就是把目标函数划归为矩阵运算问题，然后求导后等于0，从而得到极值。以线性回归问题为例：
求解最小二乘的问题推导为如下：求解变量$\theta$,满足
$$(X^{T}X)\theta =X^{T}y\text{\hspace{1em}(2)}$$
如果可逆，将得到：
$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
这是利用矩阵得到的最小二乘法的一种解法。
注意这是线性回归的最小二乘法的求解结果，不是其他问题的，其他问题的假设函数有时候很复杂。比如下面的博文对线性回归的推算挺好，但没有说明求导的大前提条件：线性回归，这容易把最小二乘法和最小二乘法的求解混在一起。
http://blog.youkuaiyun.com/ACdreamers/article/details/44662633
##数值方法随机梯度下降
思路：对参数向量求导，使其梯度为0，然后得到参数变量的迭代更新公式。
$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \ast \frac{\partial J(\theta )}{\partial ({\theta }_j)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
请参考：http://blog.youkuaiyun.com/iterate7/article/details/76709492
##数值方法牛顿法
利用泰勒公式展开，利用梯度和海塞矩阵进行迭代下降。速度很快。
$$x^{k+1}=x^k-H_k^{-1}{g}_k\text{\hspace{1em}(4)}$$
变量以牛顿方法来下降。
牛顿方向定义为：
$$-H_k^{-1}{g}_k$$
请参考：

http://blog.youkuaiyun.com/iterate7/article/details/78387326

最小二乘和梯度下降区别

最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种。梯度下降是一种解决最优化问题的数值方法。最小二乘法则是一个最优化问题。

简单总结

数值方法的基本含义则是对一个函数求极值，在无法直接求得解析解的情况下，通过求导为0的方法，找到迭代方向保证可以下降目标值，梯度方向或者牛顿方向等等。 逐步下降直到满足一些工程要求则结束迭代。

后记

1. 最小二乘法是一种对于偏差程度的评估准则思想，由公式1给出。个人认为，应该称之为：最小二乘准则。
2. 公式1里没有给出f的值，也就是说假设空间。如果是线性回归，也就是wx+b的形式，那么公式2就是最小二乘法的解。所以大部分的博文都在此范畴讨论。为何都用这个线性回归直接说呢，其实最小二乘准则更适合线性回归。应该称之为狭义的最小二乘方法，是线性假设下的一种有闭式解的参数求解方法，最终结果为全局最优。
3. 梯度下降只是数值求解的具体操作，和最小二乘准则下面的最优化问题都可以用随机梯度下降求解。

线性回归python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.array([
    [1, 6],
    [2, 5],
    [3, 7],
    [4, 10]
])
m = len(data)
X = np.array([np.ones(m), data[:, 0]]).T
print("X:", X)
y = np.array(data[:, 1]).reshape(-1, 1)
print("y:",y)
W = np.linalg.solve(X.T.dot(X), X.T.dot(y)) ## 求解XW=y的值，W
print("W:",W)

##show
plt.figure(1)
xx = np.linspace(0, 5, 2)
yy = np.array(W[0] + W[1] * xx)
plt.plot(xx, yy.T, color='b')
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='r')
plt.show()

参考

机器学习 周志华 线性模型和最小二乘法
https://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_(mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton’s_method_in_optimization