K-Means简记

K-Means是一种聚类算法,旨在将数据集分成K个互不重叠的类别,使得每个类别内的数据点尽可能相似,而类别间的差异最大化。算法通过迭代过程不断调整质心和数据点的归属,直至聚类稳定。K-Means的优点是简单易实现,但缺点是对初始质心选择敏感,需要预先设定K值,且可能受异常值影响。常见应用包括文本聚类和数据分析。

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K-Means聚类算法。

基础含义

K-Means是一种聚类算法,它可以把n个对象根据相互之间的相似度,自动划分到K个聚类。 但并不是任意的划分,我们有明确的目标。通俗的讲,目标就是划分后的聚类, 每个类内部相对集中;而聚类与聚类之间则相对离散。

数学原理

给定n个观察点

X1,X2,...,Xn

其中每个观察点 Xi 都是d维向量,也就是说,只要把我们的任何一条数据预处理到d维空间,使得每个 |Xi|=d , 举个例子就是
Xi=[fi1,fi2,...,fid],

其中 fik 就是第k个特征. 那么都可以采用此聚类方法处理数据。

那么我们的目标函数是什么呢?
我们需要划归到 S={S1,S2,...,Sk} ,其中 Si 是第i个聚类。

目标函数:

argmini=1k(XSi||Xμi||2)=argmini=1k(|Si|VarSi)

其中 μiSi (the mean of points in Si ),这就是K-Means的Means的意思。
|Si| 代表聚类的规模;
VarSi 则是 Si 的方差。

如何求一个集合的方差Var:

Var(X)=1ni=1n(xiμ)2

其中
μ=1ni=1nxi
μ 其实就是平均值.

回过头来总结一下目标函数:
如果分好了K个聚类必须满足,每个聚类的方差相加,这个方差之和最小。简言之,就是开始所谓的每个聚类尽量离散程度较好(抱团),这样方差小。

k-Means的算法流程

  1. 随机选取k个聚类质心点为 μ1,μ2,...,μkRn
  2. 重复下面的过程直到收敛
    对于每一个样例,计算其应该属于哪个类:
    Si:=argminj||Xiμj||

对于每一个聚类j,重新计算质心:

μj:=XSiXm
m是聚类j的个数。

通俗一点讲:

1、给出k个初始聚类中心,简称初始化质心。
2、repeat:
把每一个数据对象重新分配到k个聚类中心处,形成k个簇
重新计算每一个簇的聚类中心
3、until 聚类中心不在发生变化

最小值和求导

既然目标函数已经确定了,求最小值也明确了。如何求极值(极小)呢。
最经典的数学方法,求导。参考
这里写图片描述

质心为啥是平均值

延续上面的求导。

argmini=1k(XSi||Xμi||2)

μi 求导:
ki=1(XSi||Xμi||2)μi

=ii=i(XSi||Xμi||2)μi

=(XSi||Xμi||2)μi

=(XSi||Xμi||2)μi

=(XSi2||Xμi||)

为了求极值,导数是0是必要条件。
(XSi2||Xμi||)==0

(XSi||Xμi||)==0

推出:
(xi1μi)+(xi1μi)+...+(ximμi)==0

其中 xi1Si,m ,于是:
mμi=XSiX

最后大功告成:
μi=XSiXm

质心是当前聚类的平均值就此证明结束。

一定收敛吗

涉及非凸函数,参考https://www.zhihu.com/question/20343349。待研究。

实现收敛方法的EM有啥关系

k-means算法与EM算法的关系是这样的:
** k-means是两个步骤交替进行,可以分别看成E步和M步;
** M步中将每类的中心更新为分给该类各点的均值,可以认为是在「各类分布均为单位方差的高斯分布」的假设下,最大化似然值;
** E步中将每个点分给中心距它最近的类(硬分配),可以看成是EM算法中M步(软分配)的近似。

缺点


  1. 对异常值敏感
  2. 需要提前确定k值
    如何确定k:

  1. 数据的先验知识,或者数据进行简单分析能得到基于变化的算法:即定义一个函数,随着K的改变,认为在正确的K时会产生极值
  2. 基于结构的算法:即比较类内距离、类间距离以确定K。这个也是最常用的办法,如使用平均轮廓系数,越趋近1聚类效果越好;如计算类内距离/类间距离,值越小越好;等。
  3. 基于一致性矩阵的算法:即认为在正确的K时,不同次聚类的结果会更加相似,以此确定K
  4. 基于层次聚类:即基于合并或分裂的思想,在一定情况下停止从而获得K。
  5. 基于采样的算法:即对样本采样,分别做聚类;根据这些结果的相似性确定K。如,将样本分为训练与测试样本;对训练样本训练分类器,用于预测测试样本类别,并与聚类的类别比较。

代码

https://github.com/serban/kmeans

可以有哪些应用

文本聚类,通过设置一定的K,文档聚类,从而发现热点新闻。

引用

https://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
https://en.wikipedia.org/wiki/Variance

<think>好的,我现在需要帮助用户解决使用RBF方法求解摩擦力系数的问题。首先,我需要明确用户的需求。他们可能是在进行某种机械系统或物理过程的模拟,比如电梯制动系统,而摩擦力系数的准确计算对系统的鲁棒性和可靠性至关重要。根据用户提供的引用[1],他们可能对Matlab实现和不确定性量化有一定兴趣,因此回答中可能需要结合这些点。 接下来,我需要回顾RBF(径向基函数)方法的基本原理。RBF通常用于插值或近似函数,特别是在多维空间中。它的核心思想是用基函数的线性组合来逼近目标函数。常见的基函数包括高斯函数、多二次函数等。在数值计算中,RBF可以用来构建代理模型,减少计算成本,尤其是在处理复杂或高维问题时。 用户提到的是摩擦力系数的求解,这可能涉及到实验数据或物理模型的结合。例如,在制动系统中,摩擦力可能受温度、压力、材料特性等多种因素影响,这些因素可能存在不确定性,如引用[1]中提到的鲁棒优化需要考虑参数的不确定性。因此,RBF方法可能被用来建立一个摩擦力系数与这些变量之间的近似关系,以便进行快速计算或优化。 接下来,我需要考虑如何将RBF方法应用到摩擦力系数的计算中。通常的步骤包括:收集实验数据或模拟数据,选择合适的径向基函数,构建插值矩阵,求解权重系数,然后进行预测。在这个过程中,关键点包括基函数的选择、正则化处理以避免过拟合,以及如何验证模型的准确性。 用户可能需要一个公式示例。例如,假设摩擦力系数μ与温度T和压力P有关,可以用RBF模型表示为μ = Σ w_i φ(|| [T, P] - c_i ||),其中c_i是中心点,φ是基函数,w_i是权重。需要给出具体的基函数形式,如高斯函数φ(r) = exp(-εr²),并说明如何通过最小二乘法求解权重。 同时,用户可能对数值计算的具体实现感兴趣,比如如何在Matlab中实现这一点。结合引用[1]中的Matlab示例,可能需要展示似的代码结构,如构建设计矩阵、求解线性方程组等步骤。此外,考虑到不确定性,可能需要引用中的鲁棒优化方法,将RBF模型与不确定性量化结合,提高模型的可靠性。 还需要注意潜在的问题,比如数据稀疏性、中心点的选择、基函数参数的调整(如高斯函数的形状参数ε),这些都会影响模型的精度和稳定性。可能需要提到交叉验证或其他方法来优化这些参数。 最后,生成相关问题时,需要考虑用户可能的后续需求,比如如何验证模型、如何处理高维数据、与其他方法(如多项式回归、神经网络)的比较,以及在实际应用中的挑战。这些问题可以帮助用户更深入地理解和应用RBF方法。</think>### RBF方法求解摩擦力系数的数值计算步骤 RBF(径向基函数)方法常用于构建非线性系统的代理模型,适用于摩擦力系数等参数的计算[^1]。以下为关键步骤和公式示例: --- #### **1. 数学模型构建** 假设摩擦力系数$\mu$与输入变量$x$(如温度、压力等)的关系为: $$ \mu(x) = \sum_{i=1}^N w_i \phi(\|x - c_i\|) $$ - $c_i$:第$i$个RBF中心点 - $\phi(r)$:径向基函数(常用高斯函数$\phi(r) = e^{-\epsilon r^2}$) - $w_i$:待求权重系数 --- #### **2. 数值计算流程** **步骤1:数据采集** 通过实验或仿真获取$M$组数据$(x_j, \mu_j)$,其中$j=1,2,...,M$。 **步骤2:构建线性方程组** $$ \begin{bmatrix} \phi(\|x_1 - c_1\|) & \cdots & \phi(\|x_1 - c_N\|) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi(\|x_M - c_1\|) & \cdots & \phi(\|x_M - c_N\|) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ \vdots \\ w_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_M \end{bmatrix} $$ 简记为$A\boldsymbol{w} = \boldsymbol{\mu}$。 **步骤3:求解权重系数** 使用最小二乘法求解: $$ \boldsymbol{w} = (A^T A)^{-1} A^T \boldsymbol{\mu} $$ --- #### **3. Matlab代码示例** ```matlab % 定义RBF函数 phi = @(r, eps) exp(-eps * r.^2); % 输入数据 X_train = [x1; x2; ...]; % 训练样本点(M×d矩阵) mu_train = [mu1; mu2; ...];% 对应摩擦力系数 centers = X_train; % 中心点取训练样本 epsilon = 0.1; % 高斯函数形状参数 % 构建矩阵A A = pdist2(X_train, centers); A = phi(A, epsilon); % 求解权重 w = (A' * A) \ (A' * mu_train); % 预测新样本x_new的摩擦力系数 x_new = [x_test1; x_test2; ...]; r = pdist2(x_new, centers); mu_pred = phi(r, epsilon) * w; ``` --- #### **4. 关键参数优化** - **中心点选择**:可采用K-means聚类减少中心点数量 - **形状参数$\epsilon$**:通过交叉熵最小化调整[^2] - **正则化**:添加$\lambda I$防止矩阵病态,即$\boldsymbol{w} = (A^T A + \lambda I)^{-1} A^T \boldsymbol{\mu}$ ---
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